(FGV-2008) Considere o sistema linear: \left\{\begin{array}{c}3 x-2 y=4 \\\\ 4 x+y=-13 \\\ x+y=k\end{array}\right. de incóg seja possivel e indeterminado, devemos sister:
a) \mathrm{k}=-7
b) k \neq-7
c) k é um número real qualquer.
d) k>-3

Passo 1

O enunciado dá o sistema em x,y\): \[\begin{cases} 3x - 2y = 4,\\\\ 4x + y = -13,\\\ x + y = k, \end{cases}
e pergunta para qual (k] ele é possível e indeterminado (isto é, tem infinitas soluções). Vamos usar eliminação nas duas primeiras equações para ver se sobra liberdade de solução.

Passo 2

Resolvemos o subsistema formado pelas duas primeiras equações:
\begin{cases} 3x - 2y = 4,\\\\ 4x + y = -13. \end{cases}
Da segunda obtemos y = -13 - 4x. Substituindo na primeira:
3x - 2(-13 - 4x) = 4 \;\Longrightarrow\; 3x + 26 + 8x = 4 \;\Longrightarrow\; 11x = -22 \;\Longrightarrow\; x = -2.
Então
y = -13 - 4(-2) = -13 + 8 = -5.

Passo 3

A única solução do par de equações é (x,y)=(-2,-5). Para que o terceiro enunciado
x + y = k
seja compatível, deve valer
-2 + (-5) = k \;\Longrightarrow\; k = -7.

Passo 4

Como as duas primeiras equações já fixam x e y de modo único, não há como obter infinitas soluções para nenhum valor de k. O que ocorre é que para k=-7 o sistema é possível e determinado (solução única) e para k\neq -7 ele é impossível (sem solução).

Resposta

a) k = -7

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