(Fuvest-2007) Se Amélia der R \ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará comúããçúãáR $6,00$ a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria. Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos três pessoas com quantias iniciais desconhecidas: Amélia com \,A, Lúcia com \,L e Maria com \,M. O problema envolve álgebra de primeira ordem para montar um sistema de três equações lineares com base em três situações descritas.

Passo 2

A primeira situação diz: “Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia.”
Isso gera a equação
A - 3 = L + 3
que simplifica para
A - L = 6.

Passo 3

A segunda situação diz: “Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia.”
Maria transfere \tfrac{1}{3}L para Lúcia, que passa a ter L + \tfrac{1}{3}L = \tfrac{4}{3}L. Amélia permanece com A. Logo,
\tfrac{4}{3}L = A + 6.

Passo 4

A terceira situação diz: “Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria.”
Amélia fica com A/2 e isso é igual a \tfrac{1}{3}M. Assim,
\frac{A}{2} = \frac{M}{3}.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} A - L = 6,\\[6pt] \tfrac{4}{3}L = A + 6,\\[6pt] \frac{A}{2} = \frac{M}{3}. \end{cases}
Da primeira equação, A = L + 6. Substituindo em \tfrac{4}{3}L = A + 6:
\tfrac{4}{3}L = (L + 6) + 6 = L + 12 \;\Longrightarrow\; 4L = 3L + 36 \;\Longrightarrow\; L = 36.
Então A = L + 6 = 42. Finalmente, de \frac{A}{2} = \frac{M}{3} vem
M = \frac{3}{2}A = \frac{3}{2}\times 42 = 63.]

Resposta

Amélia possui R$ 42,00;
Lúcia possui R$ 36,00;
Maria possui R$ 63,00.

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