(FGV-04) Uma caixa conténı duas moedas honestas e uma com duas caras. Uma moeda é selecionada ao acaso e lançada duas vezes. Se ocorrem duas caras, a probabilidade de a moeda ter duas caras é:
a) 1 / 2
b) 1 / 3
c) 1 / 6
d) 1 / 4
e) 2 / 3

Passo 1

O enunciado diz que há uma caixa com três moedas: duas moedas honestas (justas) e uma moeda com duas caras. Escolhe-se aleatoriamente uma moeda, lança-se duas vezes e observa-se que saíram duas caras. Queremos a probabilidade de que a moeda selecionada seja justamente a com duas caras. O conteúdo é probabilidade condicional e Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos:
\,D: a moeda escolhida é a de duas caras.
\,F: a moeda escolhida é uma das honestas.
Como há três moedas e apenas uma é de duas caras,
P(D)=\frac{1}{3}, \quad P(F)=\frac{2}{3}.
Seja também HH o evento “duas caras nos dois lançamentos”.
Para a moeda de duas caras vale
P(HH\mid D)=1,
e, para uma moeda honesta,
P(HH\mid F)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Passo 3

Pelo Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade de sair duas caras é
P(HH) = P(D)\,P(HH\mid D) \;+\; P(F)\,P(HH\mid F) = \frac{1}{3}\cdot1 \;+\; \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{3} + \frac{2}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Bayes para P(D\mid HH):
P(D\mid HH) = \frac{P(D)\,P(HH\mid D)}{P(HH)} = \frac{\tfrac{1}{3}\cdot1}{\tfrac{1}{2}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{2}{3}.

Resposta

e) \displaystyle \frac{2}{3}

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