(FGV-SP) Os centros das faces de um cubo de lado igual a 1 m são unidos formando um octaedro regular. O volume ocupado pelo cubo, em m³, e não ocupado pelo octaedro, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá um cubo de lado igual a
m e diz que, ao unirmos os centros das suas faces, obtemos um octaedro regular inscrito no cubo. Queremos o volume do cubo que não é ocupado por esse octaedro, ou seja
Para resolver, usaremos coordenadas cartesiana para descrever o octaedro e calcular seu volume por integração.
Passo 2
Posicionamos o cubo de aresta
centrado na origem e com faces paralelas aos planos coordenados. Então seus centros de faces são os seis pontos
O octaedro que tem esses pontos como vértices é simétrico em torno da origem.
Passo 3
É comum mostrar que esse octaedro coincide com a região
Logo seu volume é
Passo 4
Para calcular
, dividimos o domínio em 8 partes iguais (uma para cada sinal de
) e calculamos uma delas em que
e
:
Fazendo a integral interna em
vem
. Em seguida em
e em
chega-se a
Passo 5
O volume do cubo é
Assim o volume não ocupado pelo octaedro é