(FGV-SP) Os centros das faces de um cubo de lado igual a 1 m são unidos formando um octaedro regular. O volume ocupado pelo cubo, em m³, e não ocupado pelo octaedro, é igual a:
a) 78
b) 56
c) 34
d) 23
e) 12

Passo 1

O enunciado dá um cubo de lado igual a 1 m e diz que, ao unirmos os centros das suas faces, obtemos um octaedro regular inscrito no cubo. Queremos o volume do cubo que não é ocupado por esse octaedro, ou seja
Vdif ;=; Vcub ;-; Voct
Para resolver, usaremos coordenadas cartesiana para descrever o octaedro e calcular seu volume por integração.

Passo 2

Posicionamos o cubo de aresta 1 centrado na origem e com faces paralelas aos planos coordenados. Então seus centros de faces são os seis pontos
(pmtfrac12,0,0),(0,pmtfrac12,0),(0,0,pmtfrac12)
O octaedro que tem esses pontos como vértices é simétrico em torno da origem.

Passo 3

É comum mostrar que esse octaedro coincide com a região
l(x,y,z)inR^3:|x|+|y|+|z|<= tfrac12r
Logo seu volume é
Voct =integral tripla|x|+|y|+|z|<= tfrac12dV

Passo 4

Para calcular
integral tripla|x|+|y|+|z|<= tfrac12dV, dividimos o domínio em 8 partes iguais (uma para cada sinal de x,y,z) e calculamos uma delas em que x,y,z>=0 e x+y+z<=tfrac12:
Voct =8integralx=0^1/2 integraly=0^,1/2 - x integralz=0^,1/2 - x - y dz,dy,dx
Fazendo a integral interna em z vem ,1/2 - x - y. Em seguida em y e em x chega-se a
Voct=16

Passo 5

O volume do cubo é
Vcub=1^3=1
Assim o volume não ocupado pelo octaedro é
Vdif =1-16 =56

Resposta

tfrac56

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