Sobre um cilindro circular reto C e uma pirâmide triangular regular P sabe-se que
  • C tem volume igual a 24 pi cm^3 e área de cada base igual a 4 pi cm^2.
  • P tem a mesma altura que C e base inscrita em uma base de C .
Calcule o volume do tronco dessa pirâmide determinado pelo plano paralelo à base que dista 2 cm do vértice.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro circular reto C com volume 24picm^3 e área de cada base 4picm^2. Além disso, temos uma pirâmide triangular regular P de base inscrita na base do cilindro e altura igual à do cilindro. Precisamos achar o volume do tronco obtido ao cortar P por um plano paralelo à base a 2cm do vértice.

Passo 2

Volume de cilindro é dado por
VC = Abasecdot h
Como VC=24pi e Abase=4pi, temos
h = VCAbase = 24pi4pi = 6cm

Passo 3

A base do cilindro é um círculo de área 4pi, logo o raio é
r = raiz4pipi = 2cm
A pirâmide P tem base um triângulo equilátero inscrito nesse círculo de raio 2. Em um triângulo equilátero de lado s, o raio do circuncírculo é
R = sraiz3
Como aqui R=2, segue s=2raiz3. Então a área da base de P é
Abase(P) = raiz34,s^2 = raiz34,(2raiz3)^2 = 3raiz3cm^2

Passo 4

O volume da pirâmide P é
VP = 13,Abase(P),h = 13cdot 3raiz3cdot 6 = 6raiz3cm^3

Passo 5

Ao cortar por um plano paralelo à base que fica 2cm abaixo do vértice, a parte superior é uma pequena pirâmide semelhante a P com altura 2 e razão de semelhança linear
26 = 13
Logo a área de sua base é tfrac13^2= tfrac19 da de P, ou seja tfrac3raiz39 = tfracraiz33, e seu volume é
Vpequena = 13,raiz33cdot 2 = 2raiz39cm^3
Assim o volume do tronco é
Vtronco = VP - Vpequena = 6raiz3 - 2raiz39 = 52raiz39cm^3

Resposta

O volume do tronco vale 52raiz39cm^3.

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