(FGV-SP) Um círculo é inscrito em um quadrado de lado m. Em seguida, um novo quadrado é inscrito nesse circulo, e um novo círculo é inscrito nesse quadrado, e assim sucessivamente. A soma das áreas dos infinitos círculos descritos nesse processo é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado diz que começamos com um quadrado de lado
, depois inscrevemos um círculo nesse quadrado, em seguida inscrevemos um novo quadrado nesse círculo, depois um novo círculo nesse quadrado, e assim por diante indefinidamente. O que queremos é a soma das áreas de todos os círculos gerados. Para resolver, vamos:
- Encontrar o raio do primeiro círculo e a razão de semelhança entre raios consecutivos.
- Ver que as áreas dos círculos formam uma série geométrica.
- Somar essa série.
Passo 2
O primeiro círculo é inscrito num quadrado de lado
, portanto seu diâmetro vale
e seu raio é
Quando inscrevemos um quadrado em um círculo de raio
, a diagonal do quadrado vale
, então o lado do quadrado é
Em seguida, o próximo círculo inscrito nesse quadrado terá raio igual à metade desse lado, ou seja
Logo, a cada passo o raio de um círculo diminui por um fator
Passo 3
Assim, os raios formam a progressão geométrica
As áreas dos círculos são
Como
, as áreas também formam uma série geométrica de razão
.
Passo 4
O primeiro termo da série de áreas é
A soma infinita de uma série geométrica de razão
é
Resposta
(a)