(FGV-SP) Um círculo é inscrito em um quadrado de lado m. Em seguida, um novo quadrado é inscrito nesse circulo, e um novo círculo é inscrito nesse quadrado, e assim sucessivamente. A soma das áreas dos infinitos círculos descritos nesse processo é igual a:
a) pi m^22
b) 3 pi m^28
c) pi m^23
d) pi m^24
e) pi m^28

Passo 1

O enunciado diz que começamos com um quadrado de lado m, depois inscrevemos um círculo nesse quadrado, em seguida inscrevemos um novo quadrado nesse círculo, depois um novo círculo nesse quadrado, e assim por diante indefinidamente. O que queremos é a soma das áreas de todos os círculos gerados. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar o raio do primeiro círculo e a razão de semelhança entre raios consecutivos.
  2. Ver que as áreas dos círculos formam uma série geométrica.
  3. Somar essa série.

Passo 2

O primeiro círculo é inscrito num quadrado de lado m, portanto seu diâmetro vale m e seu raio é
r0 = m2
Quando inscrevemos um quadrado em um círculo de raio r, a diagonal do quadrado vale 2r, então o lado do quadrado é
ell = 2rraiz2 = rraiz2
Em seguida, o próximo círculo inscrito nesse quadrado terá raio igual à metade desse lado, ou seja
rnovo = ell2 = rraiz22 = rcdot1raiz2
Logo, a cada passo o raio de um círculo diminui por um fator
q = 1raiz2

Passo 3

Assim, os raios formam a progressão geométrica
r0,;r1 = r0,q,;r2 = r0,q^2,;dots com q=1raiz2
As áreas dos círculos são
An = pi,rn^2 = pi,(r0^2),(q^2)^n
Como q^2 = tfrac12, as áreas também formam uma série geométrica de razão tfrac12.

Passo 4

O primeiro termo da série de áreas é
A0 = pi,r0^2 = pi(m2)^2 = pi m^24
A soma infinita de uma série geométrica de razão 1/2 é
sumn=0^inftyAn = A01-tfrac12 = tfracpi m^24tfrac12 = pi m^22

Resposta

(a) pi m^22

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