(FGV-SP) Considere as frações 1n e 1p, com n e p sendo números irracionais. Sobre o resultado da soma 1n+1p afirma-se que pode ser:
I. inteiro não nulo;
II. racional não inteiro;
III. irracional;
IV. zero;
V. imaginário puro.
É correto apenas o que está contido em
a) I e II.
b) II e IV.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
e) II, III, IV e V.

Passo 1

O enunciado diz que n e p são números irracionais (reais, não racionais) e pede para verificar quais dos tipos abaixo podem ocorrer para a soma tfrac1n+tfrac1p:
I. inteiro não nulo
II. racional não inteiro
III. irracional
IV. zero
V. imaginário puro

Passo 2

Como n e p são reais, tfrac1n e tfrac1p são reais, e a soma de dois reais é sempre real. Logo, não pode sair um número imaginário puro. Portanto, a opção V é impossível.

Passo 3

Para obter soma zero, basta escolher
p = -n,
em que n é irracional, logo p=-n também é irracional. Então
1n + 1p = 1n + 1-n = 0,
mostrando que o caso IV ocorre.

Passo 4

Para ver que qualquer valor racional não nulo pode aparecer, seja qinQsetminus0. Impomos
1n + 1p = q Longrightarrow n+pnp = q Longrightarrow p, (q,n - 1) = n Longrightarrow p = nq,n - 1
Como n é irracional, q,n também é irracional e, portanto, q,n - 1 é irracional, de modo que p é irracional. Assim:
  • Se qinZsetminus0, obtenho I (inteiro não nulo).
  • Se qinQsetminusZ, obtenho II (racional não inteiro).

Passo 5

Para ver que a soma pode ser irracional, basta escolher quaisquer irracionais n e p de forma genérica, por exemplo n=raiz2 e p=raiz3. Então
1n + 1p = 1raiz2 + 1raiz3
é um número irracional. Isso mostra que o caso III ocorre.

Passo 6

Juntando: I (inteiro não nulo), II (racional não inteiro), III (irracional) e IV (zero) são possíveis, enquanto V (imaginário puro) é impossível.

Resposta

d) I, II, III e IV.

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