(FGV-SP) Considere as frações
e
, com
e
sendo números irracionais. Sobre o resultado da soma
afirma-se que pode ser:
I. inteiro não nulo;
II. racional não inteiro;
III. irracional;
IV. zero;
V. imaginário puro.
É correto apenas o que está contido em
a) I e II.
b) II e IV.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
e) II, III, IV e V.
I. inteiro não nulo;
II. racional não inteiro;
III. irracional;
IV. zero;
V. imaginário puro.
a) I e II.
b) II e IV.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
e) II, III, IV e V.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são números irracionais (reais, não racionais) e pede para verificar quais dos tipos abaixo podem ocorrer para a soma
:
I. inteiro não nulo
II. racional não inteiro
III. irracional
IV. zero
V. imaginário puro
I. inteiro não nulo
II. racional não inteiro
III. irracional
IV. zero
V. imaginário puro
Passo 2
Como
e
são reais,
e
são reais, e a soma de dois reais é sempre real. Logo, não pode sair um número imaginário puro. Portanto, a opção V é impossível.
Passo 3
Para obter soma zero, basta escolher
em que
é irracional, logo
também é irracional. Então
mostrando que o caso IV ocorre.
Passo 4
Para ver que qualquer valor racional não nulo pode aparecer, seja
. Impomos
Como
é irracional,
também é irracional e, portanto,
é irracional, de modo que
é irracional. Assim:
- Se
, obtenho I (inteiro não nulo). - Se
, obtenho II (racional não inteiro).
Passo 5
Para ver que a soma pode ser irracional, basta escolher quaisquer irracionais
e
de forma genérica, por exemplo
e
. Então
é um número irracional. Isso mostra que o caso III ocorre.
Passo 6
Juntando: I (inteiro não nulo), II (racional não inteiro), III (irracional) e IV (zero) são possíveis, enquanto V (imaginário puro) é impossível.
Resposta
d) I, II, III e IV.