(UF-BA) Sobre números reais, é correto afirmar:
(01) O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.
(02) O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional.
(04) O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional.
(08) Se o quadrado de um número natural é par, então esse número também é par.
(16) Todo múltiplo de 17 é um número ímpar ou múltiplo de 34.
(32) A soma de dois números primos quaisquer é um número primo.
(64) Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a 1, então esses números são primos.
(01) O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.
(02) O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional.
(04) O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional.
(08) Se o quadrado de um número natural é par, então esse número também é par.
(16) Todo múltiplo de 17 é um número ímpar ou múltiplo de 34.
(32) A soma de dois números primos quaisquer é um número primo.
(64) Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a 1, então esses números são primos.
Passo 1
O enunciado lista sete afirmações numeradas
,
,
,
,
,
e
.
Precisamos verificar, para cada uma, se é verdadeira ou falsa usando propriedades de números racionais, irracionais, paridade e máximo divisor comum.
Precisamos verificar, para cada uma, se é verdadeira ou falsa usando propriedades de números racionais, irracionais, paridade e máximo divisor comum.
Passo 2
Analisando a afirmação
: “O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.”
Racionais formam um corpo, logo o produto de dois racionais é sempre racional.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Racionais formam um corpo, logo o produto de dois racionais é sempre racional.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação
: “O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional.”
Sejam e
irracional. Se
fosse racional, então
Sejam
seria racional (razão de dois racionais), contradizendo que
é irracional.
Logo, a afirmação é verdadeira.
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação
: “O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional.”
Contra-exemplo: seja , que é irracional, mas
Contra-exemplo: seja
é racional.
Portanto, a afirmação é falsa.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação
: “Se o quadrado de um número natural é par, então esse número também é par.”
Suponha par. Se
fosse ímpar,
implicaria
Suponha
que é ímpar, contradição. Logo
deve ser par.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação
: “Todo múltiplo de 17 é um número ímpar ou múltiplo de 34.”
Seja .
Seja
- Se
for par, , então é múltiplo de 34. - Se
for ímpar, produto de dois ímpares é ímpar, logo é ímpar.
Assim, a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisando a afirmação
: “A soma de dois números primos quaisquer é um número primo.”
Contra-exemplo: , que não é primo.
Logo, a afirmação é falsa.
Contra-exemplo:
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 8
Analisando a afirmação
: “Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a 1, então esses números são primos.”
Contra-exemplo: , mas nem
nem
são primos.
Portanto, a afirmação é falsa.
Contra-exemplo:
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 9
As afirmações verdadeiras são
,
,
e
. Somando seus marcadores: