(UF-BA) Sobre números reais, é correto afirmar:
(01) O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.
(02) O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional.
(04) O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional.
(08) Se o quadrado de um número natural é par, então esse número também é par.
(16) Todo múltiplo de 17 é um número ímpar ou múltiplo de 34.
(32) A soma de dois números primos quaisquer é um número primo.
(64) Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a 1, então esses números são primos.

Passo 1

O enunciado lista sete afirmações numeradas (01), (02), (04), (08), (16), (32) e (64).
Precisamos verificar, para cada uma, se é verdadeira ou falsa usando propriedades de números racionais, irracionais, paridade e máximo divisor comum.

Passo 2

Analisando a afirmação (01): “O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.”
Racionais formam um corpo, logo o produto de dois racionais é sempre racional.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação (02): “O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional.”
Sejam ninZsetminus0 e x irracional. Se n,x fosse racional, então
x = n,xn
seria racional (razão de dois racionais), contradizendo que x é irracional.
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação (04): “O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional.”
Contra-exemplo: seja x = raiz2, que é irracional, mas
x^2 = (raiz2)^2 = 2
é racional.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação (08): “Se o quadrado de um número natural é par, então esse número também é par.”
Suponha n^2 par. Se n fosse ímpar, n=2k+1 implicaria
n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
que é ímpar, contradição. Logo n deve ser par.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação (16): “Todo múltiplo de 17 é um número ímpar ou múltiplo de 34.”
Seja m = 17k.
  • Se k for par, k=2ell, então m=17cdot(2ell)=34ell é múltiplo de 34.
  • Se k for ímpar, produto de dois ímpares é ímpar, logo m é ímpar.
    Assim, a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Analisando a afirmação (32): “A soma de dois números primos quaisquer é um número primo.”
Contra-exemplo: 3+5=8, que não é primo.
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 8

Analisando a afirmação (64): “Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a 1, então esses números são primos.”
Contra-exemplo: gcd(4,9)=1, mas nem 4 nem 9 são primos.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 9

As afirmações verdadeiras são (01), (02), (08) e (16). Somando seus marcadores:
1 + 2 + 8 + 16 = 27

Resposta

27

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