(FGV-SP)
a) Determine todos os números naturais que satisfazem simultaneamente as inequações:
b) Os sistemas de inequações são úteis para resolver antigos problemas como este, aproximadamente, do ano 250:
Três estudantes receberam cada um uma mesma lista de palavras sinônimas que deveriam ser escolhidas em pares. Cada palavra tinha uma única palavra sinônima correspondente. Dentro do tempo permitido, o primeiro colocado conseguiu 21 pares corretos; o segundo colocado tinha dois terços dos pares corretos e o terceiro, quatro a mais do que a metade do número de pares corretos. Qual era o total de pares corretos de palavras sinônimas?
a) Determine todos os números naturais que satisfazem simultaneamente as inequações:
Três estudantes receberam cada um uma mesma lista de palavras sinônimas que deveriam ser escolhidas em pares. Cada palavra tinha uma única palavra sinônima correspondente. Dentro do tempo permitido, o primeiro colocado conseguiu 21 pares corretos; o segundo colocado tinha dois terços dos pares corretos e o terceiro, quatro a mais do que a metade do número de pares corretos. Qual era o total de pares corretos de palavras sinônimas?
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
- (a) resolver em
o sistema de inequações cujo conteúdo é manipular inequações lineares. - (b) descobrir o total
de pares sinônimos numa lista em que três alunos obtiveram: o primeiro acertos, o segundo acertos e o terceiro acertos, sabendo que esses resultados são inteiros e o primeiro obteve mais acertos que os outros.
Passo 2
Para (a), note que
. As inequações viram
Como
deve ser natural (
), a parte real diz
, ou seja
.
Passo 3
Logo, a solução em
é
Passo 4
Para (b), seja
o número total de pares da lista.
O primeiro aluno fez acertos.
O segundo fez acertos, o terceiro fez
acertos.
Como esses valores são inteiros e o primeiro ficou em primeiro lugar, deve valer
O primeiro aluno fez
O segundo fez
Como esses valores são inteiros e o primeiro ficou em primeiro lugar, deve valer
Além disso,
inteiro exige
e
inteiro exige
, logo
.
Passo 5
Das desigualdades:
e
. Assim
e
. Os múltiplos de 6 nesse intervalo são
e
.
Passo 6
Se
, então o segundo e o terceiro ambos teriam
e
, empate para segundo e terceiro, o que contradiz a ordem de colocação.
Se , então
Se
que são valores inteiros distintos e menores que 21. Portanto
.
Resposta
a)
b) pares.
b)