(FGV-SP)
a) Determine todos os números naturais que satisfazem simultaneamente as inequações:
10^-1 x >= 0,06 e 10^-1 x <= 0,425
b) Os sistemas de inequações são úteis para resolver antigos problemas como este, aproximadamente, do ano 250:
Três estudantes receberam cada um uma mesma lista de palavras sinônimas que deveriam ser escolhidas em pares. Cada palavra tinha uma única palavra sinônima correspondente. Dentro do tempo permitido, o primeiro colocado conseguiu 21 pares corretos; o segundo colocado tinha dois terços dos pares corretos e o terceiro, quatro a mais do que a metade do número de pares corretos. Qual era o total de pares corretos de palavras sinônimas?

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (a) resolver em xinN o sistema de inequações 10^-1x >= 0,06 e 10^-1x <= 0,425 cujo conteúdo é manipular inequações lineares.
  • (b) descobrir o total N de pares sinônimos numa lista em que três alunos obtiveram: o primeiro 21 acertos, o segundo tfrac23N acertos e o terceiro tfracN2+4 acertos, sabendo que esses resultados são inteiros e o primeiro obteve mais acertos que os outros.

Passo 2

Para (a), note que 10^-1x = tfracx10. As inequações viram
x10 >= 0,06 Longrightarrow x >= 0,06 times 10 = 0,6
x10 <= 0,425 Longrightarrow x <= 0,425 times 10 = 4,25
Como x deve ser natural ( xin1,2,3,dots), a parte real diz 0,6<= x<=4,25, ou seja 1<= x<=4.

Passo 3

Logo, a solução em N é
x in 1,2,3,4

Passo 4

Para (b), seja N o número total de pares da lista.
O primeiro aluno fez 21 acertos.
O segundo fez tfrac23N acertos, o terceiro fez tfracN2+4 acertos.
Como esses valores são inteiros e o primeiro ficou em primeiro lugar, deve valer
tfrac23N < 21, tfracN2 + 4 < 21 e N >= 21
Além disso, tfrac23N inteiro exige 3mid N e tfracN2 inteiro exige 2mid N, logo 6mid N.

Passo 5

Das desigualdades:
tfrac23N < 21 Longrightarrow N < 31,5 Longrightarrow N <= 31,
tfracN2 + 4 < 21 Longrightarrow tfracN2 < 17 Longrightarrow N < 34 Longrightarrow N <= 33,
e N>=21. Assim 21 <= N <= 31 e 6mid N. Os múltiplos de 6 nesse intervalo são 24 e 30.

Passo 6

Se N=24, então o segundo e o terceiro ambos teriam tfrac23cdot24=16 e tfrac242+4=16, empate para segundo e terceiro, o que contradiz a ordem de colocação.
Se N=30, então
tfrac23cdot30 = 20, 302+4 = 19,
que são valores inteiros distintos e menores que 21. Portanto N=30.

Resposta

a) xin1,2,3,4
b) 30 pares.

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