(Unesp-SP) O número de quatro algarismos 77 XY , onde X é o dígito das dezenas e Y o das unidades, é divisível por 91. Determine os valores dos dígitos X e Y .

Passo 1

O enunciado pede para achar os dígitos X e Y de modo que o número de quatro algarismos
77XY = 7700 + 10X + Y
seja divisível por 91. Vamos usar aritmética modular (congruências) para encontrar X e Y.

Passo 2

Primeiro, calculamos o resto da divisão de 7700 por 91. Observamos que
91 times 84 = 7644
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7700 - 7644 = 56,
ou seja,
7700 equiv 56 pmod91

Passo 3

Para que 7700 + 10X + Y seja divisível por 91, precisamos de
7700 + 10X + Y equiv 0 pmod91
Substituindo 7700 equiv 56, temos
56 + 10X + Y equiv 0 pmod91 Longrightarrow 10X + Y equiv -56 equiv 35 pmod91

Passo 4

Como X e Y são dígitos, 10X+Y varia entre 0 e 99. A única forma de 10X+Y ser congruente a 35 módulo 91 nesse intervalo é
10X + Y = 35
Dessa equação segue imediatamente X=3 e Y=5.

Resposta

X = 3 e Y = 5.

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