(ITA-SP) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é
a) 2^8-9.
b) 2^8-1.
c) 2^8-2^6.
d) 2^14-2^8.

Passo 1

O enunciado diz que A é um conjunto com 14 elementos e Bsubset A tem 6 elementos. Precisamos contar todos os subconjuntos Xsubset A tais que lvert Xrvert<=6 e Xcap B=emptyset. O conteúdo envolvido é combinatória básica de contagem de subconjuntos, usando coeficientes binomiais.

Passo 2

Se Xcap B=emptyset, então X deve estar contido em Asetminus B. Como lvert Asetminus Brvert=14-6=8, qualquer X admissível é um subconjunto de um conjunto de 8 elementos, com até 6 elementos.

Passo 3

O número de subconjuntos de Asetminus B com até 6 elementos é
sumk=0^6binom8k
Usando a soma completa sumk=0^8binom8k=2^8, subtraímos os termos de k=7 e k=8:
sumk=0^6binom8k =2^8-binom87-binom88 =2^8-8-1 =2^8-9

Resposta

(a) 2^8-9

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