(FGV-SP) Dois números distintos
e
são retirados aleatoriamente do conjunto
, …,
. A probabilidade de que
seja um número inteiro é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao retirarmos aleatoriamente dois números distintos
e
do conjunto
, o valor de
ser inteiro.
Aqui precisamos usar ideia de contagem em probabilidade (espaço amostral finito) e a propriedade de logaritmos em bases potências de 2.
Aqui precisamos usar ideia de contagem em probabilidade (espaço amostral finito) e a propriedade de logaritmos em bases potências de 2.
Passo 2
Como os elementos são potências de 2, escrevemos
com
e
.
Para escolher temos 10 possibilidades e para
temos 9 (não pode ser igual a
).
Logo, o total de pares ordenados é
Para escolher
Logo, o total de pares ordenados
Passo 3
Queremos
.
Como , isso será inteiro exatamente quando
divide
, ou seja,
para algum
.
Como
Passo 4
Para cada
, contamos quantos
satisfazem
.
O número de múltiplos de entre 1 e 10 é
, mas precisamos excluir o próprio
, então para cada
há
O número de múltiplos de
valores de
.
Computando:
Computando:
Passo 5
Somando todos os casos favoráveis:
Portanto há 17 pares
com
inteiro.
Resposta
A probabilidade é
ou seja, alternativa (b).