(FGV-SP) Dois números distintos m e n são retirados aleatoriamente do conjunto 2,2^2, 2^3, …, 2^10. A probabilidade de que log m n seja um número inteiro é:
a) 845
b) 1790
c) 15
d) 1990
e) 29

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao retirarmos aleatoriamente dois números distintos m e n do conjunto
2,2^2,2^3,dots,2^10, o valor de logmn ser inteiro.
Aqui precisamos usar ideia de contagem em probabilidade (espaço amostral finito) e a propriedade de logaritmos em bases potências de 2.

Passo 2

Como os elementos são potências de 2, escrevemos
m=2^i, n=2^j,
com i,jin1,2,dots,10 e ineq j.
Para escolher m temos 10 possibilidades e para n temos 9 (não pode ser igual a m).
Logo, o total de pares ordenados (m,n) é
10times9=90

Passo 3

Queremos logmninZ.
Como log2^i(2^j)=tfracji, isso será inteiro exatamente quando i divide j, ou seja, j=ki para algum kinN.

Passo 4

Para cada iin1,dots,10, contamos quantos jneq i satisfazem imid j.
O número de múltiplos de i entre 1 e 10 é lfloor10/irfloor, mas precisamos excluir o próprio j=i, então para cada i
lfloor10/irfloor -1
valores de j.
Computando:
i=1&:;lfloor10/1rfloor-1=9, i=2&:;lfloor10/2rfloor-1=4, i=3&:;lfloor10/3rfloor-1=2, i=4&:;lfloor10/4rfloor-1=1, i=5&:;lfloor10/5rfloor-1=1, i=6,dots,10&:;lfloor10/irfloor-1=0

Passo 5

Somando todos os casos favoráveis:
9+4+2+1+1=17
Portanto há 17 pares (m,n) com logmn inteiro.

Resposta

A probabilidade é
1790,
ou seja, alternativa (b).

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