(FGV-SP) Uma empresa tem n vendedores que, com exceção de dois deles, podem ser promovidos a duas vagas de gerente de vendas. Se há 105 possibilidades de se efetuar essa promoção, então o número n é igual a:

Passo 1

O enunciado diz que há n vendedores, mas dois deles não podem ser promovidos, de modo que só existem n-2 elegíveis para ocupar duas vagas de gerente de vendas. Precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher 2 gerentes dentre esses n-2 candidatos.

Passo 2

Para escolher 2 pessoas entre n-2 usamos a combinação
binomn-22 ;=; 105

Passo 3

Lembrando que
binomn-22 = (n-2)(n-3)2,
temos a equação
(n-2)(n-3)2 = 105

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2 e expandindo:
(n-2)(n-3) = 210 Longrightarrow n^2 - 5n +6 = 210 Longrightarrow n^2 - 5n - 204 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática n^2 - 5n - 204 = 0, o discriminante é
De<a = (-5)^2 - 4cdot1cdot(-204) = 25 + 816 = 841 = 29^2,
portanto
n = 5 pm 292
A única solução positiva é
n = 5 + 292 = 17

Resposta

17

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