(FGV-RJ)
Explique por que podemos afirmar que 101! + 19 não é um número primo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número 101! + 19 não é primo. O conteúdo principal aqui é divisibilidade em números fatoriais, valendo o fato de que, se k é um inteiro entre 1 e n, então k divide n!.

Passo 2

Pela definição,
101! = 1 times 2 times 3 times cdots times 19 times cdots times 101
Isso implica que, para todo inteiro k com 1 <= k <= 101, temos k mid 101!.

Passo 3

Em particular, como 19 <= 101, conclui-se que
19 mid 101!,
isto é, existe algum inteiro m tal que 101! = 19,m. Portanto,
101! + 19 = 19,m + 19 = 19,(m + 1)

Passo 4

Visto que 19 > 1 e m+1 > 1, o fator 19 é um divisor próprio de 101! + 19. Logo, 101! + 19 é um número composto e não primo.

Resposta

101! + 19 não é primo porque é divisível por 19.

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