(FGV-SP) No seu livro Introdução à Álgebra, Leonhard Euler propõe um curioso e interessante problema aos leitores:
Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para vender em uma feira e cada uma vai cobrar seu preço por ovo. Embora uma tivesse levado mais ovos que a outra, as duas receberam a mesma quantia em dinheiro. Uma delas disse, então:
  • Se eu tivesse trazido o mesmo número de ovos que você trouxe, teria recebido 15 kreuzers (antiga moeda austríaca).
Ao que a segunda respondeu:
  • Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos que você trouxe, teria recebido 203 kreuzers.
Releia o texto com atenção e responda:
Quantos ovos carregava cada uma?

Passo 1

Vamos chamar de (x) o número de ovos que a primeira camponesa levou e de (y) o número que a segunda levou. Como elas juntas levaram 100 ovos, temos
x + y = 100
Cada uma vendeu todos os ovos ao seu preço próprio e recebeu a mesma quantia, digamos (R). Sejam (a) o preço por ovo da primeira e (b) o preço por ovo da segunda. Então
R = x,a e R = y,b

Passo 2

A primeira camponesa diz: “Se eu tivesse trazido (y) ovos, teria recebido 15 kreuzers.” Isso significa
y ,a = 15
Como (a = R/x), substituindo na equação acima obtemos
ycdotRx=15 Longrightarrow R = 15,xy

Passo 3

A segunda camponesa diz: “Se eu tivesse trazido (x) ovos, teria recebido tfrac203 kreuzers.” Então
x,b = 203
Como (b = R/y), temos
xcdotRy=203 Longrightarrow R = 20,y3,x

Passo 4

As duas expressões para (R) devem ser iguais:
15,xy ;=;20,y3,x
Multiplicando cruzado:
15,xcdot3,x = 20,ycdot y Longrightarrow 45,x^2 = 20,y^2 Longrightarrow 9,x^2 = 4,y^2 Longrightarrow 3,x = 2,y

Passo 5

Da relação (3,x = 2,y) e da soma (x+y=100) temos
y = tfrac32,x, x + tfrac32,x = 100 Longrightarrow 2,5,x = 100 Longrightarrow x = 40,
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y = 100 - 40 = 60

Resposta

A primeira camponesa carregava 40 ovos e a segunda carregava 60 ovos.

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