(FGV-SP) No plano cartesiano, o ponto C(2,3) é o centro de uma circunferência que passa pelo ponto médio do segmento CP, em que P é o ponto de coordenadas (5,7). A equação da circunferência é:
a) x^2+y^2-4 x-6 y+7=0
b) 4 x^2+4 y^2-16 x-24 y+29=0
c) x^2+y^2-4 x-6 y+8=0
d) 4 x^2+4 y^2-16 x-24 y+31=0
e) 4 x^2+4 y^2-16 x-24 y+27=0

Passo 1

O enunciado diz que temos uma circunferência de centro C(2,3) que passa pelo ponto médio do segmento CP, sendo P(5,7). O conteúdo é geometria analítica: vamos usar a fórmula do ponto médio e a distância entre dois pontos para obter o raio, depois montar a equação da circunferência.

Passo 2

Calculando o ponto médio M de C(2,3) e P(5,7) com a fórmula
M = l(2+52,,3+72r) = l(72,,5r)

Passo 3

O raio r é a distância de C a M, logo
r^2 = l(2-tfrac72r)^2 + (3-5)^2 = l(-tfrac32r)^2 + (-2)^2 = 94 + 4 = 254

Passo 4

A equação canônica da circunferência é
(x-2)^2 + (y-3)^2 = 254
Multiplicando por 4 e expandindo, obtemos
4l[(x-2)^2+(y-3)^2r]=25 ;Longrightarrow; 4x^2+4y^2-16x-24y+52=25 ;Longrightarrow; 4x^2+4y^2-16x-24y+27=0

Passo 5

Comparando com as alternativas, isso coincide com a letra (e).

Resposta

e) 4x^2+4y^2-16x-24y+27=0

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