(UF-PE) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (5,1),(7,2) e (1,3). Assinale 4 a-2 b.

Passo 1

O enunciado pede o ortocentro (a,b) de um triângulo com vértices em (5,1), (7,2) e (1,3) e, em seguida, o valor de 4a - 2b. Para isso usamos geometria analítica: determinamos as retas-altura como retas perpendiculares aos lados e que passam pelos vértices correspondentes, e depois encontramos sua interseção.

Passo 2

Calcule a reta-altura a partir de A=(5,1). Primeiro a inclinação de BC:
mBC = 3 - 21 - 7 = -tfrac16
A reta-altura é perpendicular a BC, logo tem inclinação m1 = 6. A equação em ponto-inclinação fica
y - 1 = 6,(x - 5) Longrightarrow y = 6x - 29

Passo 3

Calcule a reta-altura a partir de B=(7,2). Primeiro a inclinação de AC:
mAC = 3 - 11 - 5 = -tfrac12
A reta-altura é perpendicular a AC, logo tem inclinação m2 = 2. A equação em ponto-inclinação fica
y - 2 = 2,(x - 7) Longrightarrow y = 2x - 12

Passo 4

Interseção das duas retas-altura:
y = 6x - 29, y = 2x - 12 ;Longrightarrow; 6x - 29 = 2x - 12 ;Longrightarrow; x = tfrac174,
e
y = 2l(tfrac174r) - 12 = tfrac172 - 12 = -tfrac72
Logo o ortocentro é
l(a,br) = l(tfrac174,-tfrac72r).
Finalmente,
4a - 2b = 4cdottfrac174 ;-;2cdotl(-tfrac72r) = 17 + 7 = 24

Resposta

24

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