(FGV-18) Seja \mathrm{A}=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right)_{22} uma matriz tal que a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}-j^{i}, \text { se } i=j \\\ (-i)^{j}, \text { se } i \neq j\end{array}\right.. A inversa da matriz A, denotada por \mathrm{A}^{-1}, é a matriz
a) \left[\begin{array}{cc}-2 & \frac{1}{2} \\\\ 1 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{ll}-2 & \frac{1}{2} \\\\ -1 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{6} & -\frac{2}{3} \\\ \frac{1}{6} & -\frac{2}{3}\end{array}\right]
d) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{6} & -\frac{2}{3} \\\ \frac{1}{6} & \frac{2}{3}\end{array}\right]
e) \left[\begin{array}{rr}-\frac{2}{3} & -\frac{1}{6} \\\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{6}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz \mathrm{A}=(a_{ij})_{2\times2}\) com \[a_{ij} = \begin{cases} -j^{i}, & \text{se }i=j,\\\ (-i)^{j}, & \text{se }i\neq j. \end{cases}
Queremos \mathrm{A}^{-1}\]. Vamos usar cálculo de determinante e fórmula da inversa de matriz \(2\times2.

Passo 2

Calculamos cada elemento de \mathrm{A}:
Para i=1,j=1: a_{11}=-1^1=-1.
Para i=1,j=2: a_{12}=(-1)^2=1.
Para i=2,j=1: a_{21}=(-2)^1=-2.
Para i=2,j=2: a_{22}=-2^2=-4.

Passo 3

Logo
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -2 & -4\end{pmatrix},
e o determinante é
\det(\mathrm{A}) = (-1)\cdot(-4) - 1\cdot(-2) = 4 + 2 = 6.

Passo 4

Para matriz 2\times2,
\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\det(\mathrm{A})}\begin{pmatrix}a_{22} & -a_{12} \\\\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix} =\frac{1}{6}\begin{pmatrix}-4 & -1 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \\\ \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6}\end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \\\ \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6}\end{pmatrix}
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