Fix 4.8: Considere uma cujo quadro de sinais da função e das derivadas seja:
-2 -1
- - + + - -
- + + - - +
+ + - - + +
Esboce o gráfico de .

Passo 1

O enunciado dá a função f:[-3,3]toR e um quadro de sinais que nos diz, em cada intervalo em que xneq -2,-1, o sinal de f, de f' e de f''. Vamos usar essas informações para determinar em cada um dos três intervalos principais
(-3,-2),(-2,-1),(-1,3)
se f está crescendo ou decrescendo (sinal de f'), e se está côncava para cima ou para baixo (sinal de f''). Também anotamos os valores de f em x=-2 e x=-1 para localizar mínimo e máximo local.

Passo 2

Analisando o sinal de f' e de f'' em cada intervalo:
  • Em (-3,-2):
    f'<0 Rightarrow f decrescente
    f''>0 Rightarrow f côncava para cima
  • Em (-2,-1):
    f'>0 Rightarrow f crescente
    f''<0 Rightarrow f côncava para baixo
  • Em (-1,3):
    f'<0 Rightarrow f decrescente
    f''>0 Rightarrow f côncava para cima

Passo 3

Agora vemos os valores de f em x=-2 e em x=-1 pelo sinal de f junto a esses pontos:
,f(-2)<0 e f' muda de negativo (esquerda) para positivo (direita) Rightarrow mínimo local em ( -2,;f(-2)), abaixo do eixo x.
,f(-1)>0 e f' muda de positivo (esquerda) para negativo (direita) Rightarrow máximo local em ( -1,;f(-1)), acima do eixo x.

Passo 4

Com tudo isso, o esboço de y=f(x) é:
1. Em x=-3 a função vem de um valor negativo, decrescendo e côncava para cima até atingir o mínimo em x=-2.
2. A seguir, f cresce e fica côncava para baixo até o máximo em x=-1.
3. Depois de -1, f decresce novamente, agora côncava para cima, passando de valor positivo para negativo até x=3.

Resposta

O gráfico de y=f(x) deve mostrar uma rampa decrescente e côncava para cima em (-3,-2) que atinge um mínimo abaixo de zero em x=-2, depois uma subida côncava para baixo em (-2,-1) até um pico acima de zero em x=-1, e finalmente uma descida côncava para cima em (-1,3) que termina com f(3)<0.

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