Fix 4.7: Esboce o gráfico de uma função contínua para cada item abaixo que:
(b) seja sempre crescente, mas até x=-2 com concavidade para cima e depois deste ponto com concavidade para baixo

Passo 1

O enunciado pede uma função contínua fcolonRtoR que seja
  1. sempre crescente (logo f'(x)>0 para todo x),
  2. tenha concavidade para cima até x=-2 (isto é, f''(x)>0 se x<-2),
  3. e concavidade para baixo para x>-2 (isto é, f''(x)<0 se x>-2).

Passo 2

Uma escolha clássica que satisfaz essas condições é deslocar a função arco-tangente:
f(x)=arctanl(x+2r)
Ela é contínua em toda reta e suave (infinitamente diferenciável).

Passo 3

Vamos verificar monotonicidade e concavidade:
f'(x) =ddxarctan(x+2) =11+(x+2)^2 >0 para todo (x),
logo f é sempre crescente.
Em seguida,
f''(x) =ddxl[,(1+(x+2)^2)^-1r] =-2(x+2)l(1+(x+2)^2r)^2
Observe que:
  • Se x<-2, então x+2<0 e f''(x)=-2(x+2)/(cdots)>0: concavidade para cima.
  • Se x>-2, então x+2>0 e f''(x)<0: concavidade para baixo.
    Em x=-2 ocorre um ponto de inflexão.

Passo 4

O esboço de y=arctan(x+2) tem forma de “S” suave deslocada 2 unidades para a esquerda:
  • Limites horizontais em y=pmpi2.
  • Passa por l(-2,0r), ponto de inflexão.
  • É estritamente crescente, curvando-se para cima até -2 e para baixo depois.

Resposta

Um exemplo de gráfico é o de
f(x)=arctan(x+2),
que satisfaz todas as condições pedidas.

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