Fix 4.7: Esboce o gráfico de uma função contínua para cada item abaixo que:
(b) seja sempre crescente, mas até
com concavidade para cima e depois deste ponto com concavidade para baixo
(b) seja sempre crescente, mas até
Passo 1
O enunciado pede uma função contínua
que seja
- sempre crescente (logo
para todo ), - tenha concavidade para cima até
(isto é, se ), - e concavidade para baixo para
(isto é, se ).
Passo 2
Uma escolha clássica que satisfaz essas condições é deslocar a função arco-tangente:
Ela é contínua em toda reta e suave (infinitamente diferenciável).
Passo 3
Vamos verificar monotonicidade e concavidade:
logo
é sempre crescente.
Em seguida,
Em seguida,
Observe que:
- Se
, então e : concavidade para cima. - Se
, então e : concavidade para baixo.
Emocorre um ponto de inflexão.
Passo 4
O esboço de
tem forma de “S” suave deslocada 2 unidades para a esquerda:
- Limites horizontais em
. - Passa por
, ponto de inflexão. - É estritamente crescente, curvando-se para cima até
e para baixo depois.
Resposta
Um exemplo de gráfico é o de
que satisfaz todas as condições pedidas.