Numa P.G., a1=25 a^24(a^2+1) e a4=2(a^2+1)^25 a, com a>0. Estabeleça:
a) o conjunto de valores de a para os quais a P.G. é decrescente.
b) o limite da soma dos termos para q=a-15.

Passo 1

Temos uma progressão geométrica (P.G.) com primeiro termo
a1=25a^24l(a^2+1r)
e quarto termo
a4=2l(a^2+1r)^25a,
sendo a>0. Seja q a razão da P.G. Vamos:
  • em (a) achar para quais a a P.G. é estritamente decrescente (isto é, 0<q<1);
  • em (b) dado que q=a-tfrac15, calcular a soma infinita da P.G., ou seja, Sinfty=a11-q, desde que lvert qrvert<1.

Passo 2

Usamos a relação
a4=a1,q^3
para encontrar q. Logo,
q^3 =a4a1 = 2l(a^2+1r)^25a 25a^24l(a^2+1r) =2l(a^2+1r)^25a,cdot4l(a^2+1r)25a^2 =8,(a^2+1)^3125,a^3
Fazendo a raiz cúbica, obtemos
q =raiz[,3]8(a^2+1)^3125,a^3 =2,(a^2+1)5a

Passo 3

(a) A P.G. é decrescente quando 0<q<1. Como a>0, já temos q>0. Basta impor
q<1 Long<=ftrightarrow 2(a^2+1)5a<1 Long<=ftrightarrow 2a^2+2<5a Long<=ftrightarrow 2a^2-5a+2<0
O discriminante dessa quadrática é De<a=25-16=9, cujas raízes são
a=5pm34, ou seja, a=tfrac12 e a=2. A inequação é negativa para
12<a<2

Passo 4

(b) Se q=a-tfrac15, igualamos
2(a^2+1)5a=a-15 Longrightarrow 2(a^2+1)=5al(a-tfrac15r) =5a^2-a Longrightarrow 3a^2-a-2=0
As raízes são a=1 e a=-tfrac23, mas como a>0 vale a=1. Então
q=1-15=45,
e lvert qrvert<1, permitindo soma infinita. O primeiro termo em a=1 é
a1=25cdot1^24(1^2+1)=258
Logo a soma ao infinito é
Sinfty =a11-q =tfrac2581-tfrac45 =tfrac258tfrac15 =258cdot5 =1258

Resposta

a) ainl(tfrac12,2r)
b) 1258

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