Numa P.G.,
e
, com
. Estabeleça:
a) o conjunto de valores de a para os quais a P.G. é decrescente.
b) o limite da soma dos termos para
.
a) o conjunto de valores de a para os quais a P.G. é decrescente.
b) o limite da soma dos termos para
Passo 1
Temos uma progressão geométrica (P.G.) com primeiro termo
e quarto termo
sendo
. Seja
a razão da P.G. Vamos:
- em (a) achar para quais
a P.G. é estritamente decrescente (isto é, ); - em (b) dado que
, calcular a soma infinita da P.G., ou seja, , desde que .
Passo 2
Usamos a relação
para encontrar
. Logo,
Fazendo a raiz cúbica, obtemos
Passo 3
(a) A P.G. é decrescente quando
. Como
, já temos
. Basta impor
O discriminante dessa quadrática é
, cujas raízes são
, ou seja,
e
. A inequação é negativa para
Passo 4
(b) Se
, igualamos
As raízes são
e
, mas como
vale
. Então
e
, permitindo soma infinita. O primeiro termo em
é
Logo a soma ao infinito é
Resposta
a)
b)
b)