1. A função arco cossecante é obtida restringindo-se o domínio da cossecante ao intervalo [-pi2, 0) cup(0, pi2] e invertendo-a. Dessa forma, a função f(x)=arcsc(x) tem domínio ( -infty,-1] cup[1, infty ) e conjunto imagem [-pi2, 0) cup(0, pi2]. Trace o gráfico do arco cossecante para x in[-5,-1] cup[1,5].

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=arcsc(x)
no domínio xin[-5,-1]cup[1,5]. Sabemos que arcsc(x) é a inversa da cossecante restrita a l[-tfracpi2,0r)cupl(0,tfracpi2r], logo sua imagem é l[-tfracpi2,0r)cupl(0,tfracpi2r]. Para traçar o gráfico, vamos achar uma fórmula mais amigável, calcular pontos-chave e descrever a forma da curva.

Passo 2

Como csc(y)=1/sin(y), inverter essa relação em yinl[-tfracpi2,0r)cupl(0,tfracpi2r]
f(x)=arcsc(x) Longrightarrow sinl(f(x)r)=1x,
portanto
f(x)=arcsin!l(tfrac1xr),
com domínio xin(-infty,-1]cup[1,infty) e imagem em l[-tfracpi2,0r)cupl(0,tfracpi2r].

Passo 3

Vamos listar alguns pontos para x>=1:
x=1&Rightarrow f(1)=arcsin(1)=tfracpi2, x=2&Rightarrow f(2)=arcsin!l(tfrac12r)=tfracpi6, x=3&Rightarrow f(3)=arcsin!l(tfrac13r)approx0,3398, x=5&Rightarrow f(5)=arcsin!l(tfrac15r)approx0,2014, xto+infty&Rightarrow f(x)to0^+
Pela imparidade da função (isto é, f(-x)=-f(x)), para x<=-1 os valores espelham-se negativamente:
f(-1)=-tfracpi2, f(-2)=-tfracpi6, f(-5)approx-0,2014, f(x)to0^-,(xto-infty)

Passo 4

Para entender a forma: derivando f(x)=arcsin(1/x),
f'(x) =-1/x^2raiz1-(1/x)^2 =-1x^2raiz1-1/x^2 <0 em cada ramo
Isto mostra que em [1,5] a curva decresce de tfracpi2 até approx0,20, aproximando-se de y=0 (assíntota horizontal). Em [-5,-1] também decresce (isto é, vai de -0,20 até -tfracpi2 ao nos aproximarmos de -1).

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Dois ramos simétricos em relação à origem (função ímpar).
– Para xin[1,5]: começa em (1,tfracpi2), passa por (2,tfracpi6), (3,0,34), (5,0,20) e tende a (infty,0).
– Para xin[-5,-1]: começa em (-5,-0,20), passa por (-2,-tfracpi6), (-1,-tfracpi2).

Resposta

O gráfico de f(x)=arcsc(x) em xin[-5,-1]cup[1,5] é a curva definida por
y=arcsin!l(tfrac1xr),
com dois ramos decrescentes que partem de pmtfracpi2 em x=pm1 e se aproximam de y=0 conforme lvert xrvert cresce até 5 (e além).

Exercícios de Livros Relacionados