- A função arco cossecante é obtida restringindo-se o domínio da cossecante ao intervalo
e invertendo-a. Dessa forma, a função
tem domínio (
) e conjunto imagem
. Trace o gráfico do arco cossecante para
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
no domínio
. Sabemos que
é a inversa da cossecante restrita a
, logo sua imagem é
. Para traçar o gráfico, vamos achar uma fórmula mais amigável, calcular pontos-chave e descrever a forma da curva.
Passo 2
Como
, inverter essa relação em
dá
portanto
com domínio
e imagem em
.
Passo 3
Vamos listar alguns pontos para
:
Pela imparidade da função (isto é,
), para
os valores espelham-se negativamente:
Passo 4
Para entender a forma: derivando
,
Isto mostra que em
a curva decresce de
até
, aproximando-se de
(assíntota horizontal). Em
também decresce (isto é, vai de
até
ao nos aproximarmos de
).
Passo 5
Esboço do gráfico:
– Dois ramos simétricos em relação à origem (função ímpar).
– Para : começa em
, passa por
,
,
e tende a
.
– Para : começa em
, passa por
,
.
– Dois ramos simétricos em relação à origem (função ímpar).
– Para
– Para
Resposta
O gráfico de
em
é a curva definida por
com dois ramos decrescentes que partem de
em
e se aproximam de
conforme
cresce até 5 (e além).