11.7.18 Mostre que as relações de recorrência para
e
são
,
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar as relações de recorrência das funções esféricas modificadas
e
.
Para isso vamos usar as fórmulas de recorrência conhecidas das funções de Bessel modificadas e
, com
, e depois inserir o fator
.
Para isso vamos usar as fórmulas de recorrência conhecidas das funções de Bessel modificadas
Passo 2
Das funções de Bessel modificadas temos as identidades
Estas serão a base para obtermos as fórmulas para
.
Passo 3
Pela definição
Passo 4
Para obter
usamos a primeira identidade de
com
:
Multiplicando tudo por
obtemos
Passo 5
Para a relação envolvendo derivada, começamos por
Agora formamos
:
Usando as fórmulas
fazemos a combinação
Multiplicando por
e comparando termo a termo com
verifica-se que
Resposta
As mesmas etapas valem para
, usando as identidades análogas de
.