11.7.18 Mostre que as relações de recorrência para in(x) e kn(x) são
kn-1(x)-kn+1(x)=-2 n+1x kn(x), n kn-1(x)+(n+1) kn+1(x)=-(2 n+1) kn^prime(x).

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar as relações de recorrência das funções esféricas modificadas
in(x)=raizpi2x,In+tfrac12(x) e
kn(x)=raizpi2x,Kn+tfrac12(x).
Para isso vamos usar as fórmulas de recorrência conhecidas das funções de Bessel modificadas Inu e Knu, com nu=n+tfrac12, e depois inserir o fator raizpi/(2x).

Passo 2

Das funções de Bessel modificadas temos as identidades
Knu-1(x)-Knu+1(x)=-2nux,Knu(x),
K'nu(x)=-tfrac12l(Knu-1(x)+Knu+1(x)r)
Estas serão a base para obtermos as fórmulas para kn(x).

Passo 3

Pela definição
kn-1(x)=raizpi2x,K(n-1)+tfrac12(x) =raizpi2x,Kn-tfrac12(x),
kn+1(x)=raizpi2x,Kn+tfrac32(x),
kn(x)=raizpi2x,Kn+tfrac12(x)

Passo 4

Para obter
kn-1(x)-kn+1(x) usamos a primeira identidade de Knu com nu=n+tfrac12:
Kn-tfrac12(x)-Kn+tfrac32(x) =-2(n+tfrac12)x,Kn+tfrac12(x) =-2n+1x,Kn+tfrac12(x)
Multiplicando tudo por raizpi/(2x) obtemos
kn-1(x)-kn+1(x) =-2n+1x,raiztfracpi2x,Kn+tfrac12(x) =-2n+1x,kn(x)

Passo 5

Para a relação envolvendo derivada, começamos por
kn'(x) =ddxl[raiztfracpi2x,Kn+tfrac12(x)r] =raiztfracpi2l(-tfrac12x^-tfrac32Kn+tfrac12(x) +x^-tfrac12K'n+tfrac12(x)r)
Agora formamos n,kn-1+(n+1),kn+1:
n,kn-1+(n+1),kn+1 =raiztfracpi2xl[n,Kn-tfrac12+(n+1),Kn+tfrac32r]
Usando as fórmulas
Kn-tfrac12=-K'n+tfrac12-n+tfrac12xKn+tfrac12, Kn+tfrac32=-K'n+tfrac12+n+tfrac12xKn+tfrac12,
fazemos a combinação
n,Kn-tfrac12+(n+1),Kn+tfrac32 =-(2n+1),K'n+tfrac12 +2n+12x,Kn+tfrac12
Multiplicando por raizpi/(2x) e comparando termo a termo com -(2n+1),k'n(x) verifica-se que
n,kn-1(x)+(n+1),kn+1(x) =-(2n+1),k'n(x)

Resposta

kn-1(x)-kn+1(x)=-2n+1x,kn(x), n,kn-1(x)+(n+1),kn+1(x)=-(2n+1),k'n(x)
As mesmas etapas valem para in(x), usando as identidades análogas de Inu(x).

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