11.7.18 Mostre que as relações de recorrência para i_{n}(x) e k_{n}(x) são
k_{n-1}(x)-k_{n+1}(x)=-\frac{2 n+1}{x} k_{n}(x), n k_{n-1}(x)+(n+1) k_{n+1}(x)=-(2 n+1) k_{n}^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar as relações de recorrência das funções esféricas modificadas
\displaystyle i_{n}(x)=\sqrt{\frac\pi{2x}}\,I_{n+\tfrac12}(x) e
\displaystyle k_{n}(x)=\sqrt{\frac\pi{2x}}\,K_{n+\tfrac12}(x).
Para isso vamos usar as fórmulas de recorrência conhecidas das funções de Bessel modificadas I_{\nu} e K_{\nu}, com \nu=n+\tfrac12, e depois inserir o fator \sqrt{\pi/(2x)}.

Passo 2

Das funções de Bessel modificadas temos as identidades
K_{\nu-1}(x)-K_{\nu+1}(x)=-\frac{2\nu}{x}\,K_{\nu}(x),
K'_{\nu}(x)=-\tfrac12\bigl(K_{\nu-1}(x)+K_{\nu+1}(x)\bigr).
Estas serão a base para obtermos as fórmulas para k_{n}(x).

Passo 3

Pela definição
k_{n-1}(x)=\sqrt{\frac\pi{2x}}\,K_{(n-1)+\tfrac12}(x) =\sqrt{\frac\pi{2x}}\,K_{n-\tfrac12}(x),
k_{n+1}(x)=\sqrt{\frac\pi{2x}}\,K_{n+\tfrac32}(x),
k_{n}(x)=\sqrt{\frac\pi{2x}}\,K_{n+\tfrac12}(x).

Passo 4

Para obter
\displaystyle k_{n-1}(x)-k_{n+1}(x) usamos a primeira identidade de K_{\nu} com \nu=n+\tfrac12:
K_{n-\tfrac12}(x)-K_{n+\tfrac32}(x) =-\frac{2(n+\tfrac12)}{x}\,K_{n+\tfrac12}(x) =-\frac{2n+1}{x}\,K_{n+\tfrac12}(x).
Multiplicando tudo por \sqrt{\pi/(2x)} obtemos
k_{n-1}(x)-k_{n+1}(x) =-\frac{2n+1}{x}\,\sqrt{\tfrac\pi{2x}}\,K_{n+\tfrac12}(x) =-\frac{2n+1}{x}\,k_{n}(x).

Passo 5

Para a relação envolvendo derivada, começamos por
k_{n}'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[\sqrt{\tfrac\pi{2x}}\,K_{n+\tfrac12}(x)\Bigr] =\sqrt{\tfrac\pi2}\Bigl(-\tfrac12x^{-\tfrac32}K_{n+\tfrac12}(x) +x^{-\tfrac12}K'_{n+\tfrac12}(x)\Bigr).
Agora formamos n\,k_{n-1}+(n+1)\,k_{n+1}:
n\,k_{n-1}+(n+1)\,k_{n+1} =\sqrt{\tfrac\pi{2x}}\Bigl[n\,K_{n-\tfrac12}+(n+1)\,K_{n+\tfrac32}\Bigr].
Usando as fórmulas
K_{n-\tfrac12}=-K'_{n+\tfrac12}-\frac{n+\tfrac12}{x}K_{n+\tfrac12}, \quad K_{n+\tfrac32}=-K'_{n+\tfrac12}+\frac{n+\tfrac12}{x}K_{n+\tfrac12},
fazemos a combinação
n\,K_{n-\tfrac12}+(n+1)\,K_{n+\tfrac32} =-(2n+1)\,K'_{n+\tfrac12} +\frac{2n+1}{2x}\,K_{n+\tfrac12}.
Multiplicando por \sqrt{\pi/(2x)} e comparando termo a termo com -(2n+1)\,k'_n(x) verifica-se que
n\,k_{n-1}(x)+(n+1)\,k_{n+1}(x) =-(2n+1)\,k'_{n}(x).

Resposta

k_{n-1}(x)-k_{n+1}(x)=-\frac{2n+1}{x}\,k_{n}(x), \quad n\,k_{n-1}(x)+(n+1)\,k_{n+1}(x)=-(2n+1)\,k'_{n}(x).
As mesmas etapas valem para i_{n}(x), usando as identidades análogas de I_{\nu}(x).

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