(Fuvest-2000) Um número inteiro positivo n de 4 algarismos decimais satisfaz às seguintes condições:
i) a soma dos quadrados dos 1^circ e 4^circ algarismos é 58 ;
ii) a soma dos quadrados dos 2^circ e 3^circ algarismos é 52 ;
iii) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária. Qual é esse número?

Passo 1

O enunciado pede um inteiro positivo de quatro dígitos n=abcd tal que:
  1. (a)^2 + (d)^2 = 58.
  2. (b)^2 + (c)^2 = 52.
  3. Se subtrairmos 3816 de n, obtemos o número com os dígitos de n na ordem inversa, i.e.,
n - 3816 = dcba
Vamos usar álgebra em dígitos e testar as combinações que satisfazem as somas de quadrados.

Passo 2

Escrevendo n=1000a+100b+10c+d e o reverso m=1000d+100c+10b+a, a condição n-m=3816
(1000a+100b+10c+d);-;(1000d+100c+10b+a);=;3816
Agrupando termos obtemos
999,(a-d);+;90,(b-c);=;3816
e dividindo por 9
111,(a-d);+;10,(b-c);=;424

Passo 3

Das somas de quadrados tiramos as únicas possibilidades de dígitos:
(a)^2+(d)^2=58 só admite a,d=7,3.
(b)^2+(c)^2=52 só admite b,c=6,4.

Passo 4

Vamos testar as quatro ordens possíveis em
111,(a-d)+10,(b-c)=424
  1. a=7, d=3, b=6, c=4 111cdot4+10cdot2=444+20=464neq424.
  2. a=7, d=3, b=4, c=6 111cdot4+10cdot(-2)=444-20=424.
  3. Os casos com a=3, d=7 dão valores negativos.
Só o caso a=7, b=4, c=6, d=3 satisfaz a equação.

Passo 5

O número é
n=7463
De fato, 7463-3816=3647, que é o reverso de 7463.

Resposta

7463

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