(Fuvest-2000) Um número inteiro positivo n de 4 algarismos decimais satisfaz às seguintes condições:
i) a soma dos quadrados dos
e
algarismos é 58 ;
ii) a soma dos quadrados dos
e
algarismos é 52 ;
iii) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária. Qual é esse número?
i) a soma dos quadrados dos
ii) a soma dos quadrados dos
iii) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária. Qual é esse número?
Passo 1
O enunciado pede um inteiro positivo de quatro dígitos
tal que:
-
. -
. - Se subtrairmos 3816 de
, obtemos o número com os dígitos de na ordem inversa, i.e.,
Vamos usar álgebra em dígitos e testar as combinações que satisfazem as somas de quadrados.
Passo 2
Escrevendo
e o reverso
, a condição
dá
Agrupando termos obtemos
e dividindo por 9
Passo 3
Das somas de quadrados tiramos as únicas possibilidades de dígitos:
só admite
.
só admite
.
Passo 4
Vamos testar as quatro ordens possíveis em
-
dá . -
dá . - Os casos com
dão valores negativos.
Só o caso
satisfaz a equação.
Passo 5
O número é
De fato,
, que é o reverso de 7463.
Resposta
7463