(Fuvest-SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77.
Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos 5 pontos extras.
b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

Passo 1

O enunciado diz que há 20 alunos, dos quais 8 foram reprovados com média xR=65 e 12 foram aprovados com média xA=77. Depois, o professor soma 5 pontos a cada nota, formando um novo grupo de aprovados (os 12 originais mais alguns dos 8 que melhoraram) cuja média ficou 80, e um novo grupo de reprovados (o resto dos 8) cuja média ficou 68,8. Vamos usar soma de médias e sistema para descobrir (a) a média total inicial e (b) quantos dos 8 reprovados iniciais passaram com o acréscimo.

Passo 2

Antes do acréscimo, a soma total das notas é
SR = 8cdot65 = 520, SA = 12cdot77 = 924,
logo a soma de toda a turma é
S = SR + SA = 520 + 924 = 1444
A média aritmética inicial da classe é
x = S20 = 144420 = 72,2

Passo 3

Depois de somar 5 pontos a cada aluno, as novas somas ficam
SR' = 520 + 8cdot5 = 560, SA' = 924 + 12cdot5 = 984
Dos 8 que falharam inicialmente, seja s o número que, com o +5, atingem >=70 (passam) e r=8-s os que ainda ficam abaixo de 70 (reprovados).
  • A soma dos escores dos reprovados finais é rcdot68,8.
  • A soma dos escores dos aprovados finais (que são os 12 originais mais esses s) é
984 + l(soma dos s vindos dos reprovadosr)
Chamando essa soma dos s vindos de R de Ss, temos também
Ss = 560 - rcdot68,8,
pois 560 é a soma de todos os 8 reprovados iniciais já acrescidos de 5.

Passo 4

A condição de média 80 para os aprovados finais dá
984 + Ss12 + s = 80
Substituindo Ss = 560 - (8-s),68,8 e r=8-s, obtemos
984 + l[560 - (8-s)cdot68,8r]12+s = 80
Fazendo as contas:
984 + 560 - 68,8,(8-s) = 80,(12+s) Rightarrow 1544 - 550,4 + 68,8s = 960 + 80s
993,6 + 68,8s = 960 + 80s Rightarrow 33,6 = 11,2,s Rightarrow s = 3

Resposta

a) A média da turma antes dos 5 pontos extras era 72,2.
b) Dos 8 alunos reprovados, 3 atingiram nota de aprovação com o acréscimo.

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