(Fuvest-SP) Considere, no plano cartesiano O x y, a circunferência C de equação (x-2)^2+(y-2)^2=4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a
a) 2 raiz2-2
b) 2 raiz2-1
c) 2 raiz2
d) 2 raiz2+2
e) 2 raiz2+4

Passo 1

O enunciado dá a circunferência C de equação (x-2)^2+(y-2)^2=4 no plano Oxy e os pontos P e Q onde C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Queremos inscrever em C um triângulo PQR de base PQ, isósceles ( PR=QR), com perímetro máximo, e calcular sua área. Vamos usar geometria analítica: achar P,Q, determinar a condição de isoscelia via bissetriz perpendicular de PQ, escolher R que maximize comprimento dos lados iguais, e depois calcular área pelo produto da base pela altura.

Passo 2

Tangência com o eixo Ox ocorre onde y=0 e com Oy onde x=0. Substituindo em
(x-2)^2+(y-2)^2=4
obtemos
P=(2,0), Q=(0,2)

Passo 3

Como o triângulo é isósceles em R, temos PR=QR, logo R pertence à bissetriz perpendicular de PQ. A reta PQ tem coeficiente angular -1 e passa por M=(1,1), então sua bissetriz perpendicular é
y=x

Passo 4

Intersecção de y=x com a circunferência:
(x-2)^2+(x-2)^2=4 ;Longrightarrow; 2(x-2)^2=4 ;Longrightarrow; (x-2)^2=2 ;Longrightarrow; x=2pmraiz2
Assim
R1=(2+raiz2,2+raiz2), R2=(2-raiz2,2-raiz2)
Para maximizar o perímetro escolhemos o ponto mais afastado de P, ou seja R=R1.

Passo 5

Comprimento da base:
PQ=raiz(2-0)^2+(0-2)^2=2raiz2
Equação da reta PQ: x+y-2=0. Altura h é a distância de R a essa reta:
h =l|(2+raiz2)+(2+raiz2)-2r|raiz1^2+1^2 =2+2raiz2raiz2 =raiz2+2

Passo 6

Área do triângulo:
Área =PQcdot h2 =2raiz2,(raiz2+2)2 =raiz2(raiz2+2) =2+2raiz2 Á

Resposta

2raiz2+2 (alternativa d))

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