(Fuvest-SP) Considere, no plano cartesiano , a circunferência de equação e sejam e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base , e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a
a) 2 raiz2-2
b) 2 raiz2-1
c) 2 raiz2
d) 2 raiz2+2
e) 2 raiz2+4
Passo 1
O enunciado dá a circunferência C de equação (x-2)^2+(y-2)^2=4 no plano Oxy e os pontos P e Q onde C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Queremos inscrever em C um triângulo PQR de base PQ, isósceles (PR=QR), com perímetro máximo, e calcular sua área. Vamos usar geometria analítica: achar P,Q, determinar a condição de isoscelia via bissetriz perpendicular de PQ, escolher R que maximize comprimento dos lados iguais, e depois calcular área pelo produto da base pela altura.
Passo 2
Tangência com o eixo Ox ocorre onde y=0 e com Oy onde x=0. Substituindo em
(x-2)^2+(y-2)^2=4
obtemos
P=(2,0), Q=(0,2)
Passo 3
Como o triângulo é isósceles em R, temos PR=QR, logo R pertence à bissetriz perpendicular de PQ. A reta PQ tem coeficiente angular -1 e passa por M=(1,1), então sua bissetriz perpendicular é
Para maximizar o perímetro escolhemos o ponto mais afastado de P, ou seja R=R1.
Passo 5
Comprimento da base:
PQ=raiz(2-0)^2+(0-2)^2=2raiz2
Equação da reta PQ: x+y-2=0. Altura h é a distância de R a essa reta:
h =l|(2+raiz2)+(2+raiz2)-2r|raiz1^2+1^2 =2+2raiz2raiz2 =raiz2+2
Passo 6
Área do triângulo:
Área =PQcdot h2 =2raiz2,(raiz2+2)2 =raiz2(raiz2+2) =2+2raiz2 Á
Resposta
2raiz2+2 (alternativa d))
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 53