(UE-CE) A sequência de quadrados Q1, Q2, Q3, ldots é tal que, para n>1, os vértices do quadrado Qn são os pontos médios dos lados do quadrado Qn-1. Se a medida do lado do quadrado Q1 é 1 m , então a soma das medidas das áreas, em m^2, dos 10 primeiros quadrados é:
a) 10231024
b) 20481023
c) 2048512
d) 1023512

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência de quadrados Q1,Q2,dots onde cada Qn é obtido ligando-se os pontos médios dos lados de Qn-1. O lado de Q1 mede 1 m e queremos a soma das áreas de Q1 até Q10. O conteúdo principal aqui é progressão geométrica, pois cada área subsequente se obtém multiplicando a anterior por um mesmo fator.

Passo 2

Se o lado de Qn-1 vale s, o quadrado cujos vértices são os pontos médios tem diagonal de comprimento s. Como a diagonal de um quadrado de lado t vale traiz2, temos
traiz2 = s Longrightarrow t = sraiz2
Assim, a área de Qn é
En = t^2 = l(sraiz2r)^2 = s^22,
ou seja, cada área é metade da anterior.

Passo 3

Logo En forma uma progressão geométrica de primeiro termo E1=1 e razão r=tfrac12. A soma dos 10 primeiros termos de uma PG é dada por
S10 = E1 ,1 - r^101 - r

Passo 4

Substituindo E1=1 e r=tfrac12,
S10 = 1cdot 1 - l(tfrac12r)^101 - tfrac12 = 1 - tfrac11024tfrac12 = 2cdot 10231024 = 1023512

Resposta

1023512

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