(Fuvest-SP) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por
Passo 1
O enunciado nos apresenta o sistema linear em e com parâmetro , e pede para determinar para quais valores de o sistema admite soluções não triviais e encontrar essas soluções.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial e calculamos seu determinante para averiguar a existência de soluções não-triviais:
Passo 3
Simplificamos a expressão de det(A):
det(A) = 8m - 4 - 4m^3 = -4l(m^3 - 2m + 1r)
Para ter solução não trivial, precisamos de det(A)=0, ou seja,
m^3 - 2m + 1 = 0
Passo 4
Resolvemos a equação cúbica. Verificamos que m=1 é raiz e fazemos divisão por (m-1):
m^3 - 2m + 1 = (m-1)(m^2 + m - 1)=0
As outras duas raízes são
m = -1 pm raiz1+42 = -1 pm raiz52
Passo 5
Concluímos que:
Se mneq 1,tfrac-1pmraiz52, então det(A)neq0 e a única solução é trivial x=y=0.
Se minl1,tfrac-1+raiz52,tfrac-1-raiz52r, então det(A)=0 e há infinitas soluções. Para esses m, usamos a primeira equação para obter a razão:
4x + 2m^2 y = 0 Longrightarrow x = -m^22,y
Assim, a solução geral é
(x,y) = l(-tfracm^22,t,;tr),
com t parâmetro livre.
Resposta
Os valores de m que garantem soluções não triviais são
m=1, m=-1+raiz52, m=-1-raiz52,
e nessas situações a solução geral é
(x,y) = l(-tfracm^22t,;tr),
com t parâmetro livre (não nulo para obter solução não trivial).
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 297