(FUVEST-81) O grau dos polinómios f, g e h é 3. O número natural n pode ser o grau do polinômio f(g+h) se e somente se:
a) n=6
b) n=9
c) 0 \leq n \leq 6
d) 3 \leq n \leq 9
e) 3 \leq n \leq 6
a)

Passo 1

O enunciado diz que f, g e h são polinômios de grau 3, e pergunta por quais valores naturais n pode ocorrer
\deg\bigl(f(g+h)\bigr)=n.
Vamos estudar primeiro o grau de g+h e depois o de f composto com essa soma.

Passo 2

Sejam
g(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0,\quad h(x)=b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0,
ambos com a_3\neq0 e b_3\neq0. Então
g(x)+h(x)=(a_3+b_3)x^3+(a_2+b_2)x^2+\cdots+(a_0+b_0).
Devido a possíveis cancelamentos de a_3+b_3, o grau de g+h pode ser
\deg(g+h)=s\in\{0,1,2,3\}.

Passo 3

Agora, escrevendo
f(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0,
com c_3\neq0, temos
f\bigl(g(x)+h(x)\bigr) = c_3\bigl(g+h\bigr)^3 + c_2\bigl(g+h\bigr)^2 + c_1\bigl(g+h\bigr)+c_0.
O termo de maior grau é c_3\,(g+h)^3, que tem grau 3s e coeficiente líder c_3\,(a_3+b_3)^3. Como c_3\neq0, não há como cancelar esse termo.

Passo 4

Logo
\deg\bigl(f(g+h)\bigr)=3s, \quad s\in\{0,1,2,3\},
isto é, os valores possíveis são
3\cdot0=0,\quad 3\cdot1=3,\quad 3\cdot2=6,\quad 3\cdot3=9.
Portanto o conjunto exato de graus possíveis é \{0,3,6,9\}.

Passo 5

Nas alternativas não há uma que dê exatamente o conjunto \{0,3,6,9\}. Se, porém, desprezarmos a possibilidade de cancelamento do termo de grau 3 em g+h, teríamos sempre \deg(g+h)=3 e, assim,
\deg\bigl(f(g+h)\bigr)=3\cdot3=9.
Nesse cenário (o mais comum em provas, ao assumir que não há cancelamento de coeficiente líder) a única resposta viável é

Resposta

b) n=9

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