(Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a:
a) 59
b) 49
c) 13
d) 29
e) 19

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide com base quadrada de lado 1 e faces laterais equiláteras de lado 1. Precisamos achar a área do quadrado cujos vértices são os baricentros (centroides) de cada face lateral. Usaremos geometria analítica em R^3, a fórmula do baricentro de um triângulo e cálculo de distâncias.

Passo 2

Coloquemos o quadrado da base em z=0 com vértices
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0),
e o centro O=(tfrac12,tfrac12,0). O vértice da pirâmide é E=(tfrac12,tfrac12,h), onde h satisfaz AE=1. Como AO=raiz(tfrac12)^2+(tfrac12)^2=tfracraiz22, temos
h^2 + l(tfracraiz22r)^2 = 1 Longrightarrow h^2 = 1 - tfrac12 = tfrac12 Longrightarrow h = tfracraiz22

Passo 3

O baricentro de um triângulo de vértices X,Y,Z é tfracX+Y+Z3. Por simetria, todos os quatro baricentros das faces laterais têm coordenada z=tfrach3=tfracraiz26 e projeções no plano z=0 iguais a
G1=(0,0,0)+ (1,0,0)+(tfrac12,tfrac12,0)over3 longrightarrow l(tfrac12,tfrac16r),
G2tol(tfrac56,tfrac12r), G3tol(tfrac12,tfrac56r), G4tol(tfrac16,tfrac12r)
Logo os quatro pontos formam no plano z=tfracraiz26 um quadrilátero cujo projeto no plano xy é um quadrado centrado em (tfrac12,tfrac12).

Passo 4

Para achar o lado desse quadrado, calculemos a distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo entre l(tfrac12,tfrac16r) e l(tfrac56,tfrac12r):
lado = raizl(tfrac56-tfrac12r)^2 + l(tfrac12-tfrac16r)^2 = raizl(tfrac13r)^2 + l(tfrac13r)^2 = raiz23
Como o plano do quadrado é paralelo ao plano xy, sua área é igual à da projeção.

Passo 5

A área do quadrado é
l(tfracraiz23r)^2 = 29

Resposta

29 (alternativa d)

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