(Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide com base quadrada de lado
e faces laterais equiláteras de lado
. Precisamos achar a área do quadrado cujos vértices são os baricentros (centroides) de cada face lateral. Usaremos geometria analítica em
, a fórmula do baricentro de um triângulo e cálculo de distâncias.
Passo 2
Coloquemos o quadrado da base em
com vértices
e o centro
. O vértice da pirâmide é
, onde
satisfaz
. Como
, temos
Passo 3
O baricentro de um triângulo de vértices
é
. Por simetria, todos os quatro baricentros das faces laterais têm coordenada
e projeções no plano
iguais a
Logo os quatro pontos formam no plano
um quadrilátero cujo projeto no plano
é um quadrado centrado em
.
Passo 4
Para achar o lado desse quadrado, calculemos a distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo entre
e
:
Como o plano do quadrado é paralelo ao plano
, sua área é igual à da projeção.
Passo 5
A área do quadrado é