(PUC-SP) Um artesão dispõe de um bloco maciço de resina, com a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja altura mede 20 cm . Ele pretende usar toda a resina desse bloco para confeccionar contas esféricas que serão usadas na montagem de 180 colares. Se cada conta tiver 1 cm de diâmetro e na montagem de cada colar forem usadas 50 contas, então, considerando o volume do cordão utilizado desprezível e a aproximação pi=3, a área total da superfície do bloco de resina, em centímetros quadrados, é:
a) 1250
b) 1480
c) 1650
d) 1720
e) 1850

Passo 1

O enunciado diz que temos um bloco maciço de resina em forma de paralelepípedo de base quadrada e altura 20,cm. Toda essa resina vai ser usada para confeccionar esferas de diâmetro 1,cm (raio r = 0,5,cm) e serão feitas 180 colares com 50 contas cada. Nosso objetivo é:
1. Calcular o volume total de resina necessário para as contas.
2. Igualar esse volume ao volume do paralelepípedo para achar o lado da base.
3. Calcular a área total da superfície do bloco.

Passo 2

Primeiro, o número total de contas é
N = 180 times 50 = 9000
O volume de uma esfera de raio r é
Vesfera = 43,pi,r^3
Substituindo pi = 3 e r = 0,5,cm, temos
Vesfera = 43 times 3 times (0,5)^3 = 4 times 0,125 = 0,5 cm^3
Logo, o volume total de resina necessário é
Vtotal = N times Vesfera = 9000 times 0,5 = 4500 cm^3

Passo 3

O volume do paralelepípedo de base quadrada de lado s e altura 20,cm é
Vbloco = s^2 times 20
Como todo o bloco vira contas, igualamos
s^2 times 20 = 4500 Longrightarrow s^2 = 450020 = 225 Longrightarrow s = 15 cm

Passo 4

A área total de superfície de um paralelepípedo de base quadrada lado s e altura h é
A = 2 times (área da base) + (perímetro da base) times h áí
Aqui área da base = s^2 = 225á e perímetro da base = 4s = 60í, com h = 20. Assim,
A = 2times 225 + 60 times 20 = 450 + 1200 = 1650 cm^2

Resposta

1650

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