(Fuvest-SP) Seja
um número inteiro,
.
a) Calcule de quantas maneiras distintas
bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas
bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural
tal que
. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a
.
Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.
a) Calcule de quantas maneiras distintas
b) Calcule de quantas maneiras distintas
c) Considere, agora, um número natural
Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos repartir
bolas idênticas (onde
é inteiro não negativo) entre pessoas distintas, permitindo que alguém receba zero bolas. O conteúdo-chave é o método de “estrelas e barras” (ou particionamento com soluções em inteiros não negativos) para contar o número de distribuições.
Passo 2
Item (a): duas pessoas (Luís e Antônio). Sejam
e
as quantidades de bolas que Luís e Antônio recebem, respectivamente. Temos
com
inteiros. Pelo método de estrelas e barras, o número de soluções não negativas de
é
Passo 3
Item (b): três pessoas (Pedro, Luís e Antônio). Sejam
as quantidades recebidas por Pedro, Luís e Antônio. Então
com
. Pelo mesmo método, o número de soluções não negativas é
Passo 4
Item (c): agora cada uma das
distribuições em (b) ocorre com igual probabilidade. Queremos a probabilidade de que Pedro receba pelo menos
bolas, isto é
. Façamos a mudança de variável
, assim
e
O número de soluções não negativas dessa equação é
Portanto, a probabilidade pedida é
Opcionalmente, expandindo:
Resposta
(a)
(b)
(c) .
(b)
(c)