(Fuvest-SP) Seja n um número inteiro, n >= 0.
a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural k tal que 0 <= k <= n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.
Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos repartir n bolas idênticas (onde n é inteiro não negativo) entre pessoas distintas, permitindo que alguém receba zero bolas. O conteúdo-chave é o método de “estrelas e barras” (ou particionamento com soluções em inteiros não negativos) para contar o número de distribuições.

Passo 2

Item (a): duas pessoas (Luís e Antônio). Sejam x e y as quantidades de bolas que Luís e Antônio recebem, respectivamente. Temos
x + y = n,
com x,y >= 0 inteiros. Pelo método de estrelas e barras, o número de soluções não negativas de x+y=n é
binomn + 2 - 12 - 1=binomn+11=n+1

Passo 3

Item (b): três pessoas (Pedro, Luís e Antônio). Sejam x,y,z as quantidades recebidas por Pedro, Luís e Antônio. Então
x+y+z = n,
com x,y,z>=0. Pelo mesmo método, o número de soluções não negativas é
binomn + 3 - 13 - 1 = binomn+22

Passo 4

Item (c): agora cada uma das binomn+22 distribuições em (b) ocorre com igual probabilidade. Queremos a probabilidade de que Pedro receba pelo menos k bolas, isto é x>= k. Façamos a mudança de variável x' = x - k, assim x'>=0 e
x' + y + z = n - k
O número de soluções não negativas dessa equação é
binom(n-k) + 3 - 13 - 1 = binomn-k+22
Portanto, a probabilidade pedida é
binomn-k+22binomn+22
Opcionalmente, expandindo:
binomn-k+22binomn+22 =(n-k+2)(n-k+1)2(n+2)(n+1)2 =(n-k+2)(n-k+1)(n+2)(n+1)

Resposta

(a) n+1
(b) binomn+22
(c) binomn-k+22binomn+22 = (n-k+2)(n-k+1)(n+2)(n+1).

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