(Fuvest-SP) Seja , e considere também a função composta , .
a) Esboce o gráfico da função , […] indicando seus pontos de interseção com os eixos coordenados.
b) Esboce o gráfico da função g, […] indicando seus pontos de interseção com os eixos coordenados.
c) Determine os valores de para os quais .
Passo 1
O enunciado dá e define . Vamos:
– Esboçar o gráfico de , apontando seus pontos de interseção com os eixos.
– Esboçar o gráfico de , indicando seus interceptos.
– Resolver a equação .
O conteúdo envolve funções definidas por partes e composição de valor absoluto.
Passo 2
Para reconhecemos a forma em “V” com vértice em .
Quando , é reta de coeficiente angular e interseção em .
Quando , é reta de coeficiente também passando por .
Os zeros de vêm de , logo , isto é, . Em , .
Passo 3
Definimos . Trata-se de mais um “V” sobreposto, mas em duas faixas:
– Se |x|>=1, então |x|-1>=0 e
g(x)=l(|x|-1r)-1=|x|-2
Para x>=1 isso é x-2, para x<=-1 é -x-2. Esses ramos cortam o eixo x quando |x|-2=0, ou seja |x|=2.
– Se |x|<1, então |x|-1<0 e
g(x)=-(|x|-1)-1=1-|x|-1=-|x|
Esse é um “V” invertido, com vértice em (0,0) e valor -1 nos pontos x=pm1.
Logo os interceptos de g são:
– No eixo y: g(0)=0.
– No eixo x: |x|-2=0 dá x=pm2, e já temos também x=0.
Passo 4
Para resolver g(x)=5 usamos a expressão em |x|>=1, pois em |x|<1 obtemos -|x|<=0.
|x|-2=5 Longrightarrow |x|=7 Longrightarrow x=pm7
Resposta
(a) A função f intercepta o eixo y em (0,-1) e o eixo x em (1,0) e (-1,0).
(b) A função g intercepta o eixo y em (0,0) e o eixo x em (2,0) e (-2,0).
(c) As soluções de g(x)=5 são x=pm7.
Cálculo - Gelson Iezzi, Carlos Murakami - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 1: Conjuntos e Funções - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 333