(Fuvest-SP) Seja f(x)=|x|-1, forall x in R, e considere também a função composta g(x)=f(f(x)), forall x in R.
a) Esboce o gráfico da função f, […] indicando seus pontos de interseção com os eixos coordenados.
b) Esboce o gráfico da função g, […] indicando seus pontos de interseção com os eixos coordenados.
c) Determine os valores de x para os quais g(x)=5.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=|x|-1 e define g(x)=fl(f(x)r). Vamos:
– Esboçar o gráfico de f, apontando seus pontos de interseção com os eixos.
– Esboçar o gráfico de g, indicando seus interceptos.
– Resolver a equação g(x)=5.
O conteúdo envolve funções definidas por partes e composição de valor absoluto.

Passo 2

Para f(x)=|x|-1 reconhecemos a forma em “V” com vértice em x=0.
  1. Quando x>=0, f(x)=x-1 é reta de coeficiente angular 1 e interseção em f(0)=-1.
  2. Quando x<0, f(x)=-x-1 é reta de coeficiente -1 também passando por (0,-1).
    Os zeros de f vêm de |x|-1=0, logo |x|=1, isto é, x=pm1. Em x=0, f(0)=-1.

Passo 3

Definimos g(x)=fl(f(x)r)=llvert,|x|-1rrvert-1. Trata-se de mais um “V” sobreposto, mas em duas faixas:
– Se |x|>=1, então |x|-1>=0 e
g(x)=l(|x|-1r)-1=|x|-2
Para x>=1 isso é x-2, para x<=-1 é -x-2. Esses ramos cortam o eixo x quando |x|-2=0, ou seja |x|=2.
– Se |x|<1, então |x|-1<0 e
g(x)=-(|x|-1)-1=1-|x|-1=-|x|
Esse é um “V” invertido, com vértice em (0,0) e valor -1 nos pontos x=pm1.
Logo os interceptos de g são:
– No eixo y: g(0)=0.
– No eixo x: |x|-2=0 x=pm2, e já temos também x=0.

Passo 4

Para resolver g(x)=5 usamos a expressão em |x|>=1, pois em |x|<1 obtemos -|x|<=0.
|x|-2=5 Longrightarrow |x|=7 Longrightarrow x=pm7

Resposta

(a) A função f intercepta o eixo y em (0,-1) e o eixo x em (1,0) e (-1,0).
(b) A função g intercepta o eixo y em (0,0) e o eixo x em (2,0) e (-2,0).
(c) As soluções de g(x)=5 são x=pm7.

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