(PUC-RJ) Considere a equação:
a) Quantas raízes reais a equação admite para
?
b) Para quais valores reais de
a equação admite pelo menos uma raiz real?
a) Quantas raízes reais a equação admite para
b) Para quais valores reais de
Passo 1
O enunciado dá a equação
com domínio
. O conteúdo envolvido é transformação algébrica para eliminar o denominador e, em seguida, estudo de equação do segundo grau via discriminante para contar raízes reais.
Passo 2
Multiplicamos por
(sabendo que
) e obtemos
Reorganizando, chega-se à equação quadrática
cuja existência de raízes reais, para
, depende do discriminante
Passo 3
Para
a equação fica
cujo discriminante é
Logo há duas raízes reais distintas
e nenhuma delas é
. Portanto a equação admite duas raízes reais.
Passo 4
Para valores gerais de
:
-
Se
, a equação original vira que dáe raiz . Há uma raiz real. -
Se
, precisamos de , ou seja As raízes desta inequação quadrática sãoe , e o coeficiente de é positivo, logo Verificou-se que nenhuma dessas raízes tornasolução, então para esses há pelo menos uma raiz real.
Resposta
a) A equação admite 2 raízes reais quando
.
b) A equação admite pelo menos uma raiz real para
b) A equação admite pelo menos uma raiz real para