(PUC-RJ) Considere a equação: 8 x-1x+1=m x
a) Quantas raízes reais a equação admite para m=1 ?
b) Para quais valores reais de m a equação admite pelo menos uma raiz real?

Passo 1

O enunciado dá a equação
8x - 1x + 1 = m x
com domínio x neq -1. O conteúdo envolvido é transformação algébrica para eliminar o denominador e, em seguida, estudo de equação do segundo grau via discriminante para contar raízes reais.

Passo 2

Multiplicamos por x+1 (sabendo que x neq -1) e obtemos
8x - 1 = m x(x+1) = m x^2 + m x
Reorganizando, chega-se à equação quadrática
m x^2 + (m - 8)x + 1 = 0,
cuja existência de raízes reais, para m neq 0, depende do discriminante
De<a = (m - 8)^2 - 4cdot mcdot 1 = m^2 -20m +64

Passo 3

Para m = 1 a equação fica
x^2 - 7x + 1 = 0,
cujo discriminante é
De<a = (-7)^2 - 4cdot1cdot1 = 49 - 4 = 45 > 0
Logo há duas raízes reais distintas
x = 7 pm raiz452,
e nenhuma delas é -1. Portanto a equação admite duas raízes reais.

Passo 4

Para valores gerais de m:
  1. Se m = 0, a equação original vira
    8x - 1x + 1 = 0
    que dá 8x - 1 = 0 e raiz x = tfrac18neq -1. Há uma raiz real.
  2. Se m neq 0, precisamos de De<a >= 0, ou seja
    m^2 - 20m + 64 >= 0
    As raízes desta inequação quadrática são m = 4 e m = 16, e o coeficiente de m^2 é positivo, logo
    m <= 4 ou m >= 16
    Verificou-se que nenhuma dessas raízes torna x=-1 solução, então para esses m há pelo menos uma raiz real.

Resposta

a) A equação admite 2 raízes reais quando m=1.
b) A equação admite pelo menos uma raiz real para
m <= 4 ou m >= 16

Exercícios de Livros Relacionados