(Fuvest-SP) Seja o sistema lx+2 y-z=0 x-m y-3 z=0 x+3 y+m z=0.
a) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em
Conteúdo: sistemas lineares e determinante.
Para que o sistema tenha solução não-trivial (além da trivial (x=y=z=0]), a matriz dos coeficientes deve ser singular, isto é, ter determinante zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & -1 1 & -m & -3 1 & 3 & m
e aplicamos o critério: soluções não-triviais existem se, e só se,
det(A)=0

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet-m & -33 & m -2cdotdet1 & -31 & m +(-1)cdotdet1 & -m1 & 3
Agora cada menor:
det-m & -33 & m =-mcdot m-(-3)cdot3=-m^2+9,
det1 & -31 & m =1cdot m-(-3)cdot1=m+3,
det1 & -m1 & 3 =1cdot3-(-m)cdot1=3+m
Substituindo:
det(A) =(-m^2+9)-2(m+3)-(3+m) =-m^2+9-2m-6-3-m =-m^2-3m

Passo 4

Para ter det(A)=0 basta resolver
-m^2-3m=0 Long<=ftrightarrow -m,l(m+3r)=0 Longrightarrow m=0 ou m=-3

Resposta

Os valores de m que tornam o sistema singular (e, portanto, admitem solução não-trivial) são
m=0ou m=-3

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