(Fuvest-SP) A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4 m+3 n) x^2- -5 n x+(m-2)=0 valem, respectivamente, 58 e 332. Então, m+n é igual a:
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação de segundo grau em x com coeficientes que dependem de m e n:
(4m+3n),x^2-5n,x+(m-2)=0,
e informa que a soma das raízes vale tfrac58 e o produto das raízes vale tfrac332. Para resolver, vamos usar as fórmulas de Viète, que dizem que, para
a,x^2+b,x+c=0,
a soma das raízes é -ba e o produto é ca.

Passo 2

Identificamos a=4m+3n, b=-5n e c=m-2.
Pela soma das raízes:
-ba ;=; 5n4m+3n ;=;58
Fazendo o produto cruzado,
5ncdot 8 = 5,(4m+3n) Longrightarrow 40n = 20m +15n Longrightarrow 25n =20m Longrightarrow m = 54,n

Passo 3

Pelo produto das raízes:
ca ;=; m-24m+3n ;=;332
Substituindo m=tfrac54n:
tfrac54n -24l(tfrac54nr)+3n = 332 Longrightarrow tfrac5n-845n+3n = 332 Longrightarrow 5n-84cdot8n = 332
Multiplicando em cruz:
32,(5n-8) = 3,(32n) Longrightarrow 160n -256 =96n Longrightarrow 64n =256 Longrightarrow n=4

Passo 4

Com n=4, usamos m=tfrac54n para obter
m = 54cdot 4 =5
Logo,
m+n = 5+4 =9

Resposta

9

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