Um gás expande-se de uma pressão inicial de 80 libras por polegada quadrada e volume de 2,5 pés cúbicos ao volume de 9 pés cúbicos: Achar o trabalho realizado se a lei é p v^{n}=C, sendo n=1,0646.

Passo 1

O enunciado diz que um gás expande-se de pressão inicial p_{1}=80 lbf/in ^2 (psi) e volume inicial V_{1}=2,5 ft ^3 até volume final V_{2}=9 ft ^3, obedecendo à lei politrópica
p\,V^{n}=C,
com n=1,0646. Queremos calcular o trabalho
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,dV.

Passo 2

Convém usar pressão em lbf/ft ^2. Sabendo que \text{1 psi}=144 lbf/ft ^2, temos
p_{1}=80\times144=11520\;\mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^2.
Então o valor da constante C é
C = p_{1}\,V_{1}^{n} =11520\times(2,5)^{1,0646} \approx30560\;\bigl(\mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^{2}\bigr)\,\mathrm{ft}^{1,0646}.

Passo 3

Para processo politrópico p=CV^{-n}, o trabalho é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}C\,V^{-n}\,dV =\frac{C}{1-n}\,\bigl(V_{2}^{\,1-n}-V_{1}^{\,1-n}\bigr).

Passo 4

Calculemos os expoentes:
1-n = 1 - 1,0646 = -0,0646.
Assim,
V_{1}^{\,1-n} = (2,5)^{-0,0646}\approx0,9425, \quad V_{2}^{\,1-n} = (9)^{-0,0646}\approx0,8679.

Passo 5

Substituindo em W:
W =\frac{30560}{1-1{,}0646}\,\bigl(0,8679-0,9425\bigr) =\frac{30560}{-0{,}0646}\times(-0{,}0746) \approx3{,}53\times10^{4}\,\mathrm{ft}\cdot\mathrm{lbf}.

Resposta

O trabalho realizado vale aproximadamente
W \approx 3{,}53\times10^{4}\;\mathrm{ft}\cdot\mathrm{lbf}.

Exercícios de Livros Relacionados