Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?
5,12121212 ldots

Passo 1

O enunciado pede a geratriz da dízima periódica 5,121212ldots, ou seja, converter essa dízima numa fração. Vamos usar a técnica de multiplicar por potências de dez para isolar a parte periódica.

Passo 2

Definimos
x = 5,121212ldots
Aqui a parte inteira é 5 e a parte fracionária é a dízima 0,121212ldots.

Passo 3

Como o período tem 2 algarismos (o bloco “12”), multiplicamos x por 10^2=100 para deslocar a vírgula e alinhar a repetição:
100x = 512,121212ldots

Passo 4

Subtraímos a equação original da multiplicada para eliminar a parte periódica:
100x - x = 512,121212ldots - 5,121212ldots
que resulta em
99x = 507

Passo 5

Isolando x, obtemos
x = 50799

Passo 6

Simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 3:
507div3=169, 99div3=33,
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x = 16933

Resposta

dfrac16933

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