(IBMEC-2002) Um proprietário de um estacionamento notou que quando o preço do estacionamento era R$9,00, em média 30 carros estacionavam e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço, o número de carros que estacionava aumentava em 10. Qual deve ser o preço cobrado para que a receita seja máxima? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá uma situação de otimização de receita de um estacionamento. Quando o preço era
, estacionavam em média
carros, e para cada redução de
no preço aumenta em
o número de carros. Queremos achar o preço que maximiza a receita, usando modelagem por função quadrática e cálculo do ponto de máximo.
Passo 2
Vamos introduzir a variável
como o número de reduções de
aplicadas ao preço inicial. Assim:
significa reduzir
vezes.
Passo 3
Em função de
, o preço cobrado e a quantidade de carros são
e a receita
é produto preço vezes quantidade:
Passo 4
Vamos expandir a expressão de
:
Passo 5
Para maximizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Resolvendo
dá
Como o coeficiente de
é
, esse ponto é um máximo.
Passo 6
Com
, o preço ótimo é
Resposta
O preço deve ser
para que a receita seja máxima.