(IBMEC-2002) Um proprietário de um estacionamento notou que quando o preço do estacionamento era R$9,00, em média 30 carros estacionavam e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço, o número de carros que estacionava aumentava em 10. Qual deve ser o preço cobrado para que a receita seja máxima? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma situação de otimização de receita de um estacionamento. Quando o preço era R$9,00, estacionavam em média 30 carros, e para cada redução de R$1,00 no preço aumenta em 10 o número de carros. Queremos achar o preço que maximiza a receita, usando modelagem por função quadrática e cálculo do ponto de máximo.

Passo 2

Vamos introduzir a variável x como o número de reduções de R$1,00 aplicadas ao preço inicial. Assim:
x = 0,1,2,dots
significa reduzir R$1,00 x vezes.

Passo 3

Em função de x, o preço cobrado e a quantidade de carros são
p(x) = 9 - x
q(x) = 30 + 10x
e a receita R é produto preço vezes quantidade:
R(x) = p(x),q(x) = (9 - x)(30 + 10x)

Passo 4

Vamos expandir a expressão de R(x):
R(x) = (9 - x)(30 + 10x) = 9cdot30 + 9cdot10x - xcdot30 - xcdot10x = 270 + 90x - 30x - 10x^2 = -10x^2 + 60x + 270

Passo 5

Para maximizar R(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
R'(x) = ddxl(-10x^2 + 60x + 270r) = -20x + 60
Resolvendo R'(x)=0
-20x + 60 = 0 Longrightarrow x = 3
Como o coeficiente de x^2 é -10<0, esse ponto é um máximo.

Passo 6

Com x=3, o preço ótimo é
p = 9 - x = 9 - 3 = 6

Resposta

O preço deve ser R$6,00 para que a receita seja máxima.

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