(IME-05) Calcule o determinante da matriz n \times n \mathrm{~cm} função de b, onde b é um numero real tal que b^{\prime} \neq 1.
\underbrace{\left(\begin{array}{ccccccc} b^{2}+1 & b & 11 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\\ b & b^{2}-1 & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\\\ 0 & b & b^{2}-1 & b & \cdots & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & b & b^{2}+1 & \cdots & 0 & 0 \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\\ n & 0 & 0 & 0 & \cdots & b^{2}+1 & b \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & b & b^{2}+1 \end{array}\right)}_{\text {" colluias }} \| \text { linhas }

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz tridiagonal de ordem n que depende do parâmetro real b (com b^{2}\neq1 para evitar degenerações). A matriz é
A_n(b)= \begin{pmatrix} b^2+1 & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\\ b & b^2+1 & b & \cdots & 0 & 0 \\\\ 0 & b & b^2+1 & \ddots & \vdots & \vdots \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & b & 0 \\\\ 0 & 0 & \cdots & b & b^2+1 & b \\\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & b & b^2+1 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é o método de recorrência para determinantes de matrizes tridiagonais toeplitz constantes: se
D_n=\det A_n(b),
então existe uma recorrência de ordem 2 que liga D_n,\,D_{n-1} e D_{n-2}.

Passo 2

Vamos montar a recorrência. Seja D_n=\det A_n(b). Expansão de Laplace na última linha (ou pela forma padrão de determinantes de tridiagonais) dá
D_n = (b^2+1)\,D_{n-1}\;-\;b\cdot b\,D_{n-2}
isto é,
D_n = (b^2+1)\,D_{n-1} \;-\; b^2\,D_{n-2}.
As condições iniciais são
D_1 = b^2+1, \qquad D_2 = \det\begin{pmatrix}b^2+1 & b\\\ b & b^2+1\end{pmatrix} =(b^2+1)^2 - b^2 = b^4 + b^2 + 1.

Passo 3

Para resolver
D_n - (b^2+1)D_{n-1} + b^2\,D_{n-2}=0
consideramos a equação característica
\lambda^2 - (b^2+1)\,\lambda + b^2 = 0,
cuja raiz dupla são \lambda=b^2 e \lambda=1. Logo a solução geral é
D_n = \alpha\cdot 1^n + \beta\cdot (b^2)^n = \alpha + \beta\,b^{2n}.
Para determinar \alpha e \beta usamos D_0=1 (por convenção para a recorrência) e D_1=b^2+1:
\begin{cases} D_0 = 1 = \alpha + \beta,\\\ D_1 = b^2+1 = \alpha + \beta\,b^2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda,
(b^2+1)-1 = \beta\,(b^2-1) \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{b^2}{\,b^2-1\,},
e então
\alpha = 1 - \beta = 1 - \frac{b^2}{\,b^2-1\,} = \frac{\,b^2-1 - b^2\,}{\,b^2-1\,} = -\frac{1}{\,b^2-1\,}.
Logo
D_n = -\frac{1}{b^2-1} \;+\;\frac{b^2}{b^2-1}\,b^{2n} = \frac{-1 + b^{2n+2}}{\,b^2-1\,} = \frac{b^{2(n+1)} - 1}{\,b^2-1\,}.

Passo 4

Interpretando n\ge1, conclui-se que o determinante vale
\boxed{ \det A_n(b) = \frac{b^{2(n+1)} - 1}{\,b^2 - 1\,}, \quad b^2\neq1. }

Resposta

\det A_n(b) \;=\;\frac{b^{2(n+1)} - 1}{b^2 - 1}.
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