O enunciado pede o determinante de uma matriz tridiagonal de ordem n que depende do parâmetro real b (com b^{2}\neq1 para evitar degenerações). A matriz é
A_n(b)= \begin{pmatrix} b^2+1 & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\\ b & b^2+1 & b & \cdots & 0 & 0 \\\\ 0 & b & b^2+1 & \ddots & \vdots & \vdots \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & b & 0 \\\\ 0 & 0 & \cdots & b & b^2+1 & b \\\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & b & b^2+1 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é o método de recorrência para determinantes de matrizes tridiagonais toeplitz constantes: se
D_n=\det A_n(b),
então existe uma recorrência de ordem 2 que liga D_n,\,D_{n-1} e D_{n-2}.
Passo 2
Vamos montar a recorrência. Seja D_n=\det A_n(b). Expansão de Laplace na última linha (ou pela forma padrão de determinantes de tridiagonais) dá