(IME-97) Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão:
\left(1+\frac{1}{3}\right)^{65}

Solução:

O termo geral do desenvolvimento é T_{p+1}=\binom{65}{p}\left(\frac{1}{3}\right)^{p}=\binom{65}{p} 3^{-p}.
Vamos agora resolver a inequação \mathrm{T}_{p+1} \geq \mathrm{T}_{p} :
\binom{65}{p} 3^{-p} \geq\binom{ 65}{p-1} 3^{-p+1} \Rightarrow \frac{65!}{p(p-1)!(65-p)!} \geq 3 \frac{65!}{(p-1)!(66-p)(65-p)!} \Rightarrow
\frac{1}{p} \geq \frac{3}{66-p} \Rightarrow \frac{1}{p}-\frac{3}{66-p} \geq 0 \Rightarrow \frac{66-4 p}{p(66-p)} \geq 0
Como p(66-p)>0, temos que 66-4 p \geq 0 \Rightarrow p \leq 16,5
Desta maneira, como pé inteiro, desde p = 0 até p=16 temos que os coeficientes vão crescendo, fazendo com que o maior deles ocorra para p=16 \Rightarrow \mathrm{T}_{\text {max }}=\mathrm{T}_{17}=\binom{65}{16} 3^{-16}.

Passo 1

O enunciado pede o termo de maior valor do desenvolvimento de \bigl(1+\tfrac13\bigr)^{65}. O conteúdo principal é o Teorema do Binômio de Newton e o critério de comparação de termos consecutivos para identificar o pico da sequência de termos.

Passo 2

Pelo Binômio de Newton, o termo geral é
T_{p+1} \;=\;\binom{65}{p}\,1^{65-p}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{p} \;=\;\binom{65}{p}\,3^{-p}.

Passo 3

Comparamos termos consecutivos calculando a razão
\frac{T_{p+1}}{T_{p}} =\frac{\binom{65}{p}\,3^{-p}}{\binom{65}{p-1}\,3^{-p+1}} =\frac{\binom{65}{p}}{\binom{65}{p-1}}\cdot\frac{1}{3} =\frac{66-p}{3p}.
Para que a sequência cresça até T_{p+1}, precisamos de
\frac{66-p}{3p}\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad 66-p\ge3p \quad\Longleftrightarrow\quad 4p\le66 \quad\Longleftrightarrow\quad p\le16,5.

Passo 4

Como p é inteiro, a sequência de termos cresce enquanto p\le16 e decresce a partir de p=17. Portanto, o termo de valor máximo ocorre para p=16, que é o 17º termo do desenvolvimento.

Resposta

T_{\max}=T_{17}=\binom{65}{16}\,3^{-16}.

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