(ITA-06) Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a c b reais, dado por
\left\{\begin{array}{l} (a-b) x-(a+b) y=1 \\\ (a+b) x+(a-b) y=1 \end{array}\right.
Considere as seguintes afirmações:
I - O sistema é possivel e indeterminado se \mathrm{a}=\mathrm{b}=0.
II - O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos.
III -x^{2}+y^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{-1}, se a^{2}+b^{2} \neq 0.
Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) II e III

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear em (x,y)\) com parâmetros reais \(a\) e \(b\): \[\begin{cases} (a-b)\,x \;-\;(a+b)\,y = 1,\\\ (a+b)\,x \;+\;(a-b)\,y = 1.
O conteúdo é resolução de sistemas (2\times2] e análise de casos segundo o determinante e Cramer. Vamos precisar calcular o determinante, discutir existência e unicidade de solução, e depois verificar a expressão proposta em III.

Passo 2

Primeiro, calculemos o determinante \Delta da matriz dos coeficientes:
\Delta \;=\;(a-b)^2 + (a+b)^2 \;=\;2\bigl(a^2 + b^2\bigr).
Se a=b=0, então \Delta=0 e as duas equações viram 0=1, logo o sistema é impossível (contradição). Se (a,b)\neq(0,0), então a^2+b^2>0 implica \Delta\neq0 e o sistema tem solução única. Portanto:
I é falsa e II é verdadeira.

Passo 3

Para checar III, resolvemos explicitamente por Cramer (quando a^2+b^2\neq0):
x = \frac{2a}{2(a^2+b^2)} = \frac{a}{a^2+b^2}, \quad y = \frac{-2b}{2(a^2+b^2)} = -\frac{b}{a^2+b^2}.
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-x^2 + y^2 = -\frac{a^2}{(a^2+b^2)^2} + \frac{b^2}{(a^2+b^2)^2} = \frac{-a^2 + b^2}{(a^2+b^2)^2},
que não coincide em geral com \,(a^2+b^2)^{-1}. Assim III também é falsa.

Passo 4

Da análise, apenas a afirmação II é verdadeira.

Resposta

b) II

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