(IME-05 CG) Sabendo que a, b e c são constantes reais, resolva o sistema simplificando o máximo possivel a expressão obtida.
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\\ c x+a y+b z=0 \\\ a x-b y-b z=a^{2}-b^{2} \end{array}\right.

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 0,\\\ c x + a y + b z = 0,\\\ a x - b y - b z = a^2 - b^2, \end{cases}
e precisamos resolver para x, y, z em função de a, b e c. O conteúdo é eliminação de variáveis em sistemas lineares.

Passo 2

Da primeira equação isolamos z:
z = -\,x - y.

Passo 3

Substituímos z=-x-y nas outras duas equações.
Na segunda equação:
c x + a y + b(-x - y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (c - b)\,x + (a - b)\,y = 0.
Na terceira equação:
a x - b y - b(-x - y) = a^2 - b^2 \quad\Longrightarrow\quad (a + b)\,x = a^2 - b^2.

Passo 4

Da equação (a + b)x = a^2 - b^2 obtemos, supondo a + b \neq 0,
x = \frac{a^2 - b^2}{a + b} = a - b.

Passo 5

Substituindo x = a - b em (c - b)x + (a - b)y = 0, temos
(c - b)(a - b) + (a - b)\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad (a - b)\,y = -(c - b)(a - b) \quad\Longrightarrow\quad y = b - c.

Passo 6

Finalmente, de z = -x - y obtemos
z = -\bigl(a - b\bigr) - \bigl(b - c\bigr) = c - a.

Resposta

x = a - b,\quad y = b - c,\quad z = c - a.

Exercícios de Livros Relacionados