(IME-85 CG) Seja o sistema: \left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}y_{1} \\\ y_{2} \\\ y_{3}\end{array}\right). Discutir os valores de y_{1}, y_{2} e y_{3} para que este sistema admita soluçăo.
Queremos discutir para quais valores de y_{1},y_{2},y_{3} o sistema é compatível. Usaremos o método do posto (rank): se \operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\,|\,\mathbf y] então há solução.
Passo 2
Calculamos o determinante de A para testar invertibilidade:
\det A =1\cdot(1\cdot(-1)-1\cdot5)\; -(-2)\cdot(2\cdot(-1)-1\cdot0)\; +1\cdot(2\cdot5-1\cdot0) =-6-4+10=0.
Como \det A=0, a matriz não é invertível e \operatorname{rank}A<3.
Passo 3
Para ver que \operatorname{rank}A=2, basta notar que o menor principal de ordem 2
O sistema é compatível exatamente se \operatorname{rank}[A\,|\,\mathbf y] também for 2. Isso equivale a exigir que \mathbf y esteja ortogonal a todo vetor não nulo do núcleo à esquerda de A. Procuramos \mathbf w=(\alpha,\beta,\gamma)\neq(0,0,0) tal que \mathbf w^{T}A=0. Das equações