(ITA-13) Considere o sistema nas variáveis reais x e y:
\left\{\begin{array}{l} x \operatorname{sen} \alpha+3 y \cos \alpha=a \\\ x \cos \alpha+y \operatorname{sen} \alpha=b \end{array}\right.
\operatorname{com} \alpha \in[0, \pi / 2[\mathrm{e} \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{IR}. Analise para que valores de \alpha, a e b o sistema é (i) possivel determinado. (ii) possível indeterminado ou (iii) impossivel, respectivamente. Nos casos (i) e (ii), encontre o respectivo conjunto-soluçăo.

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} x\,\sin\alpha + 3y\,\cos\alpha = a,\\\ x\,\cos\alpha + y\,\sin\alpha = b, \end{cases}
com \alpha\in[0,\pi/2[ e a,b\in\mathbb R. O tema é classificação de sistemas lineares de 2\times2 pela condição do determinante da matriz de coeficientes e, em seguida, uso de Cramer para solução única ou exame de consistência quando o determinante zera.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
D = \begin{vmatrix} \sin\alpha & 3\cos\alpha\\\ \cos\alpha & \sin\alpha \end{vmatrix} = \sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha =4\sin^2\alpha -3.
Logo D\neq0 sempre que 4\sin^2\alpha\neq3, isto é, sempre que \sin^2\alpha\neq3/4. No intervalo dado só há uma solução para \sin\alpha=\sqrt{3}/2, isto é, \alpha=\pi/3.

Passo 3

Caso \alpha\neq\pi/3 temos D\neq0 e o sistema é possível e determinado. Aplicando a regra de Cramer, os numeradores são
D_x=\begin{vmatrix}a & 3\cos\alpha\\\ b & \sin\alpha\end{vmatrix} = a\,\sin\alpha-3b\,\cos\alpha, \quad D_y=\begin{vmatrix}\sin\alpha & a\\\ \cos\alpha & b\end{vmatrix} = b\,\sin\alpha - a\,\cos\alpha.
Portanto a solução única é
x = \frac{a\,\sin\alpha - 3b\,\cos\alpha}{4\sin^2\alpha - 3}, \quad y = \frac{b\,\sin\alpha - a\,\cos\alpha}{4\sin^2\alpha - 3}.

Passo 4

Quando \alpha=\pi/3 temos \sin\alpha=\tfrac{\sqrt3}{2}, \cos\alpha=\tfrac12 e D=0. Nesse caso as equações se tornam
\sqrt3\,x + 3y = 2a, ,\quad x + \sqrt3\,y = 2b.
Note que a segunda vezes \sqrt3 \sqrt3\,x+3y=2b\sqrt3. Logo as retas coincidem somente se 2a=2b\sqrt3, i.e.\ a=b\sqrt3.

Passo 5

Se \alpha=\pi/3 e a=b\sqrt3, as duas equações são idênticas e há infinitas soluções. A equação comum é
\sqrt3\,x+3y=2a=2b\sqrt3.
Tomando por parâmetro t\in\mathbb R (por exemplo y=t), obtemos
y = t, \qquad x = \frac{2b\sqrt3 - 3t}{\sqrt3} =2b - \sqrt3\,t.
Esse é o conjunto-solução no caso possível indeterminado.

Passo 6

Se \alpha=\pi/3 mas a\neq b\sqrt3, as retas são paralelas sem ponto em comum e o sistema é impossível.

Resposta

(i) Possível determinado: para todo \alpha\neq\pi/3 e quaisquer a,b, com solução
x = \frac{a\,\sin\alpha - 3b\,\cos\alpha}{4\sin^2\alpha -3}, ,\quad y = \frac{b\,\sin\alpha - a\,\cos\alpha}{4\sin^2\alpha -3}.
(ii) Possível indeterminado: se \alpha=\pi/3 e a=b\sqrt3, com conjunto-solução
\{(x,y)\mid y=t,\;x=2b-\sqrt3\,t,\;t\in\mathbb R\}.
(iii) Impossível: se \alpha=\pi/3 e a\neq b\sqrt3.

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