(IME-93) Numa escola há 15 comissões, todas com igual número de alunos. Cada aluno pertence a duas comissões e cada duas comissões possui exatamente um membro comum. Todos os alunos participam.
a) Quantos alunos tem a escola?
b) Quantos alunos participam de cada comissão?

Passo 1

O enunciado diz que há 15 comissões (todas com o mesmo número de alunos), cada aluno participa de exatamente duas comissões e cada par distinto de comissões tem exatamente um aluno em comum. Queremos achar o número total de alunos na escola e quantos alunos há em cada comissão. O conteúdo aqui é uma contagem combinatória, usando a ideia de associar cada aluno ao par de comissões a que ele pertence.

Passo 2

Como cada aluno pertence a exatamente duas comissões, podemos associar a cada aluno um par não ordenado de comissões. Ou seja, existe uma aplicação que leva cada aluno ao conjunto \{C_i,C_j\} das duas comissões a que ele pertence.

Passo 3

Pelo enunciado, cada par de comissões aparece em exatamente um aluno. Logo essa aplicação é bijetiva entre alunos e pares de comissões. Como o número de pares não ordenados de 15 comissões é
\binom{15}{2} = \frac{15\cdot14}{2} = 105,
concluímos que a escola tem 105 alunos.

Passo 4

Agora, considere uma comissão fixa C. Ela faz par com cada uma das outras 14 comissões e, em cada par, há exatamente 1 aluno comum. Esses 14 alunos são todos distintos (vêm de pares diferentes), e não há mais alunos em C, pois cada aluno de C participa de exatamente duas comissões. Logo cada comissão tem 14 alunos.

Resposta

a) 105 alunos na escola.
b) 14 alunos em cada comissão.

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