(ITA-67) Seja o determinante
\mathrm{D}=\left|\begin{array}{lll} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{a}_{2} & \mathrm{a}_{3} \\\ \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{~b}_{2} & \mathrm{~b}_{3} \\\ \mathrm{c}_{1} & \mathrm{c}_{2} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right| \mathrm{e}
A_{1}, \quad A_{2}, \quad A_{3} respectivamente os complementos algébricos de \mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}, \mathbf{c}_{3}. Então \mathrm{a}_{1} \mathrm{~A}_{1}+\mathrm{a}_{2} \mathrm{~A}_{2}+\mathrm{a}_{3} \mathrm{~A}_{3}=
a) D
b) -D
c) 0
d) \mathrm{D}^{-1}
e) 1

Passo 1

O enunciado dá o determinante
D = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}
e diz que A_1,A_2,A_3 são os cofatores (complementos algébricos) dos elementos c_1,c_2,c_3 na terceira linha. Queremos calcular
a_1A_1 + a_2A_2 + a_3A_3.
O conteúdo que vamos usar é a definição de matriz adjunta (adjugada) e a propriedade
A\;\mathrm{adj}(A) = (\det A)\,I.

Passo 2

Seja A=(a_{ij}) a matriz cujo determinante é D. A matriz adjunta \mathrm{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores, ou seja,
(\mathrm{adj}(A))_{j i} = C_{i j},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é o cofactor de a_{ij}. A propriedade fundamental é
A\,\mathrm{adj}(A) = D\,I_3.

Passo 3

Olhemos para a entrada (1,3) desse produto:
\bigl(A\,\mathrm{adj}(A)\bigr)_{1,3} = \sum_{j=1}^{3} a_{1j}\,(\mathrm{adj}(A))_{j3} = D\,\delta_{1 3} = 0.
Mas (\mathrm{adj}(A))_{j3}=C_{3j}=A_j. Logo
a_1A_1 + a_2A_2 + a_3A_3 = 0.

Resposta

c) 0
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