(IME-09) Seja A uma matriz. quadrada inversivel de ordem 4 tal que o resultado da soma \left(A^{4}+3 A^{3}\right) é uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante de A é
A) -81
B) -27
C) -3
D) 27
E) 81

Passo 1

Resumindo, temos uma matriz quadrada invertível A de ordem 4 tal que
A^{4} + 3A^{3} = 0.
Queremos encontrar \det(A). Vamos usar fatoração de polinômio matricial e a propriedade de determinante de produto.

Passo 2

Fatoramos o lado esquerdo por A^{3}:
A^{3}(A + 3I_{4}) = 0.

Passo 3

Como A é invertível, então A^{3} também é invertível. Multiplicando à esquerda por (A^{3})^{-1}, obtemos
A + 3I_{4} = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = -3I_{4}.

Passo 4

Finalmente, calculamos o determinante:
\det(A) = \det(-3I_{4}) = (-3)^{4}\,\det(I_{4}) = 81 \cdot 1 = 81.

Resposta

E) 81
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados