Seja a matriz A=\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]. Determine a expressào do determinante da matriz (A -\alpha \mathrm{l} ), onde \alpha \in M el a matriz identidade. A soma dos valores de \alpha para os quais det (\mathrm{A}-\alpha \mathrm{l})= 0 é dada por

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 5 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
e pede a expressão de \det(A - \alpha I), além de encontrar os valores de \alpha que anulam esse determinante e somá-los. O conteúdo aqui é o polinômio característico de uma matriz 2\times2.

Passo 2

Formamos
A - \alpha I = \begin{pmatrix}4-\alpha & 5 \\\\ 2 & 1-\alpha\end{pmatrix}
e calculamos o determinante por
\det(A - \alpha I) = (4-\alpha)(1-\alpha) - 5\cdot 2.
Em seguida simplificamos:
(4-\alpha)(1-\alpha) - 10 = 4 -4\alpha -\alpha +\alpha^2 -10 = \alpha^2 -5\alpha -6.

Passo 3

Resolvemos
\alpha^2 -5\alpha -6 = 0
pelas fórmulas de raízes ou fatoração. Neste caso
\alpha^2 -5\alpha -6 = (\alpha-6)(\alpha+1)=0
dá as soluções \alpha=6 e \alpha=-1.

Passo 4

Pelo teorema de Viète, a soma das raízes de
\alpha^2 -5\alpha -6=0 é exatamente o coeficiente de \alpha com sinal trocado, ou seja,
6 + (-1) = 5.

Resposta

5

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