(Índia-97) Um trapézio possui diagonais perpendiculares e altura 10. Determine a área do trapézio se uma diagonal mede 13.

Passo 1

O enunciado fala de um trapézio de altura 10 cujas diagonais são perpendiculares e uma delas mede 13. Queremos sua área. O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos posicionar o trapézio num plano cartesiano, impor a condição de diagonais perpendiculares (produto escalar zero) e usar a distância para fixar o comprimento da diagonal dada.

Passo 2

Colocamos o trapézio de modo que a base maior CD fique no eixo x e a base menor AB numa reta paralela a CD em y=10. Assim, definimos:
D=(0,0),\quad C=(b,0),\quad A=(x,10),\quad B=(x+a,10),
onde CD=b e AB=a. As diagonais são
\overrightarrow{AC}=(b-x,\,-10),\quad \overrightarrow{BD}=(-(x+a),\,-10).

Passo 3

Como as diagonais são perpendiculares, seu produto escalar vale zero:
(b-x)\bigl(-(x+a)\bigr)+(-10)(-10)=0 \quad\Longrightarrow\quad (b-x)(x+a)=100.
Chame U=b-x e V=x+a. Então temos
UV=100.

Passo 4

Uma diagonal mede 13. Se for AC, então
\|\overrightarrow{AC}\|^2=(b-x)^2+10^2=13^2 \;\Longrightarrow\;(b-x)^2=69 \;\Longrightarrow\;U^2=69.
Analogamente, se fosse BD vale V^2=69. Em ambos os casos a soma dos comprimentos das bases é
a+b=U+V=\sqrt{69}+\frac{100}{\sqrt{69}}.

Passo 5

A área do trapézio é
\text{Área}=\frac{a+b}{2}\times h =\frac{U+V}{2}\times10 =5\Bigl(\sqrt{69}+\frac{100}{\sqrt{69}}\Bigr) =\frac{845}{\sqrt{69}}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{845}{\sqrt{69}}

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